椭圆方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),P、Q为椭圆上任意两点,且∠POQ=π/2,求证:1/OP^2+1/OQ^2=1/

椭圆方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),P、Q为椭圆上任意两点,且∠POQ=π/2,求证:1/OP^2+1/OQ^2=1/a^2 +1/b^2

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1,直线AB交椭圆于A、B，且OA⊥OB，求证：1/OA²+1/OB²=1/a²+1/b²,点O到AB的距离为定值。
证明：设A（x1，y1）B（x2，y2）
根据题意y1/x1*y2/x2=-1
即x1x2+y1y2=0
设MN方程：y=kx+m代入椭圆b²x²+a²y²=a²b²
整理：(a²k²+b²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0
韦达定理：x1+x2=-2kma²/(a²k²+b²),x1*x2=(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²
x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=0
(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)+k²(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)-2k²m²a²/(a²k²+b²)+m²=0
化简：(a²+b²)m²=a²b²(1+k²)
m²/(1+k²)=a²b²/(a²+b²)
｜m｜/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)
点O到直线AB的距离d=｜m｜/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)为定值
1/OA²+1/OB²=(OA²+OB²)/(OA²*OB²)=AB²/(AB*d)²=1/d²=1/[a²b²/(a²+b²)]
=(a²+b²)/(a²b²)=1/a²+1/b²
这是我之前做过的，参考一下！