设函数y=f（x）（x∈R，且x≠0）对任意非零实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立。

答案:4 悬赏:60 手机版

解决时间 2021-02-25 13:46

提问者网友：心如荒岛囚我终老
2021-02-25 02:31

(1).求证f(1)=f(-1)=0,且f(1/x)=-f(x)(x≠0)
(2).判断f(x)的奇偶性
(3).若f(x)在（0，+∞）上单调递增，解不等式f(1/x)-f(2x-1)≥0

最佳答案

五星知识达人网友：患得患失的劫
2021-02-25 02:39

f（xy）=f（x）+f（y）
取x=y=1,f(1)=f(1)+f(1)所以f(1)=0
取x=y=-1,f(1)=f(-1)+f(-1)=0,所以f(-1)=0
f(1)=f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=0,所以f(1/x)=-f(x)

2)
f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x)=f(x)
所以f(x)是偶函数
3）f(1/x)-f(2x-1)≥0 ，
f(1/x)≥0 f(2x-1）
1/x≥2x-1,得-1/2<=x<=1
又x>0,2x-1>0,所以x>1/2
综上1/2

全部回答

1楼网友：神也偏爱
2021-02-25 06:07

1）令x=1,y=0。 ∴ f(1×0)=f(0)+f(1) ∴f(0)=f(0)+f(1) ∴f(1)=0 再令x=-1,y=0。 ∴f[(-1)×0]=f(1)+f(0) ∴f(-1)=0 ∴f(-1)=f(1)=0 2) 令y=-1 ∴f(-x)=f(-1)+f(x) ∵由(1)知 f(-1)=0 ∴f(x)=f(-x) ∴f(x)为偶函数

2楼网友：酒醒三更
2021-02-25 04:28

证明：令x=0， y=0根据f（xy）=f（x）+f（y）则f（0）=2f（0） ∴f（0）=0令x=1,y=0可得f（0）=f（1）+f（0） ∴f(1)=0同理令x=-1,y=0可得f(-1)=0 令y=1/x，x≠0则f(x*1/x)=f（x）+f（1/x）=f(1)=0 ∴f(1/x)=-f(x)(x≠0) (2)y=-1时，f（-x）=f（x），偶函数 (3)f(1/x)-f(2x-1)≥0 即f(1/x)≥f(2x-1）则1/x≥2x-1,得-1/2<=x<=1 又x>0,2x-1>0,∴x>1/2 1/2

3楼网友：梦中风几里
2021-02-25 03:54

(1)由y=f(x)(x∈r 且x≠0)对任意非零实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立设x=1 y=1 ∴f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1) ∴f(1)=0 设x=-1 y=-1 ∴f(1)=f(-1*-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0 ∴f(-1)=0 ∵f(1)=f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=0 ∴f(1/x)=-f(x)(x≠0) (2)f(1)=f(-1)=0 是偶函数 (3)∵是偶函数在(0 +∞)上递增,∴在(-∞ 0)上递减当x>0时 f(1/x)-f(2x-1)≥0 ∴1/x≥2x-1 解得x∈(0 1]或[-1/2 -∞) ∴x∈(0 1] 当x<0时 ∴1/x≤2x-1 得x∈[1 +∞)或[-1/2 0) ∴x∈[-1/2 0) ∴x∈(0 1]或[-1/2 0)

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