如何证明二元函数的可微性，详细点

如何证明二元函数的可微性，详细点

具体证明步骤如下：

证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件：
若z=f(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f、f,且它们在点M处连续,则z=f(x,y)在点M可微。 

证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0, 
△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 
=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)] 
=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y 
=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y 
=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y 
而||≤|α|+|β|, 
所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),即f(x,y)在点M可微。 
注意:定理4的逆定理不成立。即:偏导数存在且连续是可微的充分非必要条件。
例如:f(x,y)=(x+y)sin (x+y≠0)0 (x+y=0),
因为f(0,0)===0,同理:f(0,0)=0,所以f(x,y)在(0,0)点的偏导数存在。
又f(x,y)=2xsin+(x+y)cos(x+y≠0)0 (x+y=0)
所以f(x,y)=(2xsin-cos),
其中2xsin=0,
而 cos中,若取路径y=x,
显然cos=cos不存在,所以f(x,y)不存在。
因此f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在但不连续。
而 = (△x+△y)sin=0,所以f(x,y)在(0,0)点可微。

扩展资料：
设平面点集D包含于R2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数.且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域。
设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:
△z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B是仅与P0有关的常数,ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(ρ)是较ρ高阶无穷小量,即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零。则称f在P0点可微。
参考资料：如何证明二元函数的可微性-CSDN

这个问题写起来好复杂的说，不过还是决定回答给你。。。
首先，对于以一元函数，比较简单，可微一定可导，可导一定可微。
对于多元函数：偏导数存在不一定可微，可微一定存在偏导。（还有，偏导数存在时函数不一定连续）
二元函数，可微的充要条件是
z=f(x,y)在（Xo,Yo)处的偏导数f`x(Xo,Yo),f`y(Xo,Yo)存在 且
{Δz-[f`x(x0,y0)h+f`y (x0,y0)k]}/ ρ=0 ( ρ→0)
其中 k=Δx h=Δy ρ=就是动点和定点的距离，那个式子 根下(x-xo)2+(y-yo)2

     用课本上的定义去证，即Δz-[fx(x0,y0)Δx+fy (x0,y0)Δy]为ρ的高阶无穷小，ρ=√（△x^2＋△y^2）也就是求当ρ→0时，Lim{Δz-[fx(x0,y0)Δx+fy (x0,y0)Δy]}/ρ=0。以下附一例题：

    总之要注意二元函数在某点可偏导且连续只是在该点可微的充分条件，同时在某点可微只能说明在该点偏导存在，但不一定连续。

二元函数，可微的充要条件是
z=f(x,y)在(Xo,Yo)处的偏导数f`x(Xo,Yo),f`y(Xo,Yo)存在 且 {Δz-[f`x(x0,y0)h+f`y (x0,y0)k]}/ ρ=0 ( ρ→0)
拓展内容
一次函数可导可微基本是等价的，二阶函数比较复杂。可微一定存在二阶偏导数，一阶偏导数存在不一定可微.

证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件：
1、若z=f(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f，且它们在点M处连续,则z=f(x,y)在点M可微。 
2、证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0, 
△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)
=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)] 
=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y 
=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y 
=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y 
而||≤|α|+|β|, 
所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),
即f(x,y)在点M可微。
拓展资料：

1、设平面点集D包含于R2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数。
2、且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域.
3、一般来说,二元函数是空间的曲面,如双曲抛物面(马鞍形)z=xy.
4、二元函数可以认为是有两个自变量一个因变量，可以认为是三维的函数，空间函数。
5、f为定义在点集D上的二元函数.P0为D中的一点，对于任意给定的正数ε,总存在相应的正数δ,只要P在P0的δ临域和D的交集内,就有|f(P0)-f(P)|<ε,则称f关于集合D在点P0处连续。
6、若f在D上任何点都连续,则称f是D上的连续函数。
参考资料：百度百科-二元函数