已知f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，若 f( 9π 4 )=13-9 2 ．（1）求a的值

已知f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，若 f( 9π 4 )=13-9 2 ．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n，使得方程f（x）=0在区间[0，nπ]内恰有2011个根．若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

（1）令 x=
9π
4 ，得


2 a+4+9=13-9


2 ，得a=-9．
（2）

f(x+π)=-9(|sin(x+π|+|cos(x+π)|)+4sin2(x+π)+9
=-9(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9=f(x)
所以，f（x）的最小正周期为π．
（3）不存在n满足题意．  当 x∈[0，
π
2 ] 时，f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9．
设 t=sinx+cosx=


2 sin(x+
π
4 )，t∈[1，


2 ] ，则sin2x=2sinxcosx=t 2 -1，
于是f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9=4t 2 -9t+5，令4t 2 -9t+5=0，得 t=1或t=
5
4 ∈[1，


2 ] ，
于是 x=0，
π
2 ，或 x= x 0 (0＜ x 0 ＜
π
4 ) 或 x=
π
2 - x 0 ，其中 sin( x 0 +
π
4 )=
5


2
8 ，
当 x∈(
π
2 ，π) 时，f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9．
设 t=sinx-cosx=


2 sin(x-
π
4 )，t∈(1，


2 ] ，则sin2x=2sinxcosx=1-t 2 ，
于是f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9=-4t 2 -9t+13，令-4t 2 -9t+13=0，
解得t=1或 t=-
13
4 ?(1，


2 ] ，故f（x）在 x∈(
π
2 ，π) 没有实根．
综上讨论可得，f（x）=0在[0，π）上有4根，而2011=4×502+3，而在[0，502π]有2009个根，在[0，503π]上有2013个根，
故不存在n，使得f（x）=0在区间[0，nπ]内恰有2011个根．

（1）令x＝ 9π 4 ，得 2 a+4+9＝13?9 2 ，得a=-9． （2）解： f(x+π)＝?9(|sin(x+π|+|cos(x+π)|)+4sin2(x+π)+9 ＝?9(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9＝f(x) 所以，f（x）的最小正周期为π． （3）不存在n满足题意．  当x∈[0， π 2 ]时，f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9． 设t＝sinx+cosx＝ 2 sin(x+ π 4 )，t∈[1， 2 ]，则sin2x=2sinxcosx=t2-1， 于是f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9=4t2-9t+5，令4t2-9t+5=0，得t＝1或t＝ 5 4 ∈[1， 2 ]， 于是x＝0， π 2 ，或x＝x0(0＜x0＜ π 4 )或x＝ π 2 ?x0，其中sin(x0+ π 4 )＝ 5 本回答由提问者推荐 评论 風鈴ˉ□ˉ65 采纳率：79%擅长：暂未定制 为您推荐： 其他类似问题

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