若a.b.c两两不等的有理数，求证【1/（a-b)²+1/(b-c)²+1/（c-a)²】的算术平方根是有理数

若a.b.c两两不等的有理数，求证【1/（a-b)²+1/(b-c)²+1/（c-a)²】的算术平方根是有理数

设: a-b=m, b-c=n, 则a-c=m+n
原式=1/m^2+1/n^2+1/(m+n)^2
={(mn)^2+[(m+n)m]^2+[(m+n)n]^2}/[mn(m+n)]^2
分母已是完全平方式，只看分子即可：
分子=(mn)^2+m^4+2nm^3+(mn)^2+n^4+2mn^3+(mn)^2
=m^4+2(mn)^2+n^4 +2mn(m^2+n^2) +(mn)^2
=(m^2+n^2)^2 +2mn(m^2+n^2) +(mn)^2
=(m^2+n^2+mn)^2
因为分子也是完全平方式，所以开方后分子、分母都是有理数
所以……

a是最小的正整数，则a=1 |2+b|+(3a+2c)^2=0 则由绝对值和平方的非负性 2+b=0 且3a+2c=0 所以 a=1 b=-2 c=-3/2

设a-b=m,b-c=n,c-a=k 则m+n+k=0,k=-(m+n) 根号下1/（a-b）的平方+1/（b-c）的平方+1/（c-a）的平方=根号下(1/m^2+1/n^2+1/k^2) 1/m^2+1/n^2+1/k^2=1/m^2+1/n^2+1/(m+n)^2 =(m^2+n^2)/(m^2n^2)+1/(m+n)^2 ={[(m+n)^2-2mn](m+n)^2+m^2+n^2}/[mn(m+n)]^2 =(m+n-mn)^2/[mn(m+n)]^2 根号下(1/m^2+1/n^2+1/k^2)=|m+n-mn|/|mn(m+n)| 因为a,b,c为两两不相等的有理数, 所以)=|m+n-mn|/|mn(m+n)|是有理数 即题目得证

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