2009年高考数学四川卷

答案

2009年普通高等学校招生统一考试四川卷 数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，共计60分。

1、设集合 则

（A） （B） （C） {4，5} （D）

2、已知函数 在点 处连续，则常数 的值是

（A）2 （B） 3 （C） 4 （D）5

3、 复数 的值是

（A）－1 （B）1 （C） （D）

4、已知函数 ，下面结论错误的是

（A）函数 的最小正周期为 （B）函数 在区间 上是增函数

（C）函数 的的图像关于直线 对称 （D）函数 是奇函数

5、如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形， ，PA=2AB，则下列结论正确的是

（A） （B） （C） （D）直线PD与平面ABC所成的角为45°

6、已知 为实数，且 .则“ ”是“ ”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

7、已知曲线 的左右焦点分别为 ，其中一条渐近线方程为 ，点 在该双曲线上，则 =

（A） －12 （B）－2 （C）0 （D）4

8、如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心

到平面ABC的距离是 ，则B、C两点的球面距离是

（A） （B） （C） （D）

9、已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点P到和直线 的距离之和的最小值是

（A）2 （B）3 （C） （D）

10、某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获利5万元、销售每吨乙产品可获利3万元.该企业在一个月生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是

（A）12万元 （B）20万元 （C）25万元 （D）27万元

11、3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

（A）360 （B） 288 （C）216 （D）96

12、已知函数 是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 都有 则 的值是

（A）0 （B） （C）1 （D）

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，共计16分，直接把答案写在横线上。

13、 的展开式中的常数项是 （用数字作答）

14、若⊙ 与⊙ 相交于A、B两点，

且两圆在A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是

15、已知正三棱柱的ABC—A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，

则异面直线ＡＢ₁和ＢＭ所成的角的大小是 　　　　

16、设Ｖ是已知平面Ｍ上所有向量的集合．对于映射 记 的象为 ．若映射 满足：对所有 及任意实数 都有 则 称为平面Ｍ上的线性变换．现有下列命题：1设 是平面Ｍ上的线性变换，则 　2对 ，设 ，则 是平面Ｍ上的线性变换；3若 是平面Ｍ上的单位向量，对 ，设 ，则 是平面Ｍ上的线性变换；4设 是平面Ｍ上的线性变换， ，若 共线，则 也共线．其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）。

三、解答题：本大题共6小题，共计74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤

17、在△ABC中，Ａ、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为 ，且 。

（1）求A+B的值；

（2）若 ，求 的值.

18、为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）.某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客.在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡.

（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

F

E

D

C

B

A

（2）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.

19、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，

△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°.

（1）求证：EF⊥；

（2）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得

PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；

若不存在，请说明理由；

（3）求二面角F—BD—A的大小.

20、已知椭圆 的左右焦点分别是F₁和F₂ ，离心率 ，右准线方程为 .

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点F₁的直线 与该椭圆相交于M、N两点，且 ，求直线 的方程.

21、已知 且 ，函数

（1）求函数 的定义域，并判断 的单调性；

（2）若 ；

（3）当 （e为自然对数的底数）时，设 ，若 的极值存在，求实数 的取值范围以及函数 的极值.

22、设数列 的前 项和为 ，对任意的正整数 ，都有 成立，记 .

（1）求数列 的通项公式。

（2）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数 ，都有 ；

（3）设数列 的前 项和为 ，已知正实数 满足：对任意正整数 ， 恒成立，求 的最小值