棣莫弗公式是啥？

棣莫弗公式是啥？

复数乘方用三角表示式来解比较简便.

　　复数r(cosθ+isinθ)的n次方是：

　　z^n=[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)

　　n∈N.

　　复数开方也用三角表示式来解比较简便.

　　复数r(cosθ+isinθ)的n次方根是：

　　(n次根号r){cos[(θ+2kπ)/n]+isin[(θ+2kπ)/n]

　　(k=0,1,2,......). n∈N.

　　这两条公式叫做棣莫弗公式

　　棣莫弗公式证明:

　　先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx

　　将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：

　　e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……

　　sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……

　　cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……

　　将t = ix 代入以上三式 ，可得欧拉公式

　　应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n

　　=e^inx

　　=cos(nx)+isin(nx)