已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p（0＜p＜1），且各个元件能否正常工作是相互独立的．今有2n（n大于1）个元件可按如图所示的两种连接方式分别构成两个系统甲、乙

已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p（0＜p＜1），且各个元件能否正常工作是相互独立的．今有2n（n大于1）个元件可按如图所示的两种连接方式分别构成两个系统甲、乙．?
（1）试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p1，p2；
（2）比较p1与p2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣．

解：（1）由图知，甲系统中每个通路能正常工作的概率为pn，故整个系统能正常工作的概率是p1=1-（1-pn）2=pn（2-pn），
乙系统每个小并联电路能正常工作的概率是p（2-p），故整个系统能正常工作的概率是p2=pn（2-p）n．（4分）
（2）由于p2-p1=pn[（2-p）n-（2-pn）]，故比较p1与p2的大小可通过比较[（2-p）n-（2-pn）]符号，
当n=2时，有（2-p）2-（2-p2）=2（1-p）2＞0? （0＜p＜1）．故有n=2时，（2-p）2＞2-p2，
假设n=k时，有（2-p）k＞2-pk，
当n=k+1时，（2-p）k+1-（2-pk+1）=（2-p）（2-p）k-（2-pk+1）=2（1-p）（2-pk）
由于0＜p＜1，可得2（1-p）（2-pk）＞0，故有n=k+1时，（2-p）k+1＞（2-pk+1），
综上证得p2＞p1，
由此结论知，在所用的电子器件数目一样的情况下，乙系统工作情况比甲系统更稳定，出现不正常工作的可能小，较可靠．解析分析：（1）由题意及图知，甲系统是先串联再并联，可先求出每个串联的电路正常工作的概率再求整个系统能正常工作的概率，乙系统是先并联再串联，同理可求出整个系统能正常工作的概率；（2）由（1）的结果，对两个系统正常工作的概率进行比较即可，由于两个系统的概率与自然数n有关，可用数学归纳法证明点评：本题考查数学归纳法，解题的关键是理解数学归纳法的证明规律及其证明步骤，以及题解本题的物理背景，正确计算出两个系统的概率，本题综合性强，考查了依据实际问题建立数学模型的能力及推理判断的能力，难度较高运算量较大，易因为不理解题意而导致无法下手或者理解出错，

谢谢解答