高分奖励,高二的数学题,请高手来做

已知定义在区间[-1,1]上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且f(1)=1.若a,b∈[-1,1],a+b≠0时

[f(a)+f(b)]/(a+b)>0.

(1)判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;

(2)解不等式f(x+1/2)<f[1/(x-1)]

(3)若f(x)≤m^2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.

1)对任意1>=x1>x2>=-1,有x1-x2=x1+(-x2)>0

由题意 [f(x1)+f(-x2)]/[x1+(-x2)]>0, ∴f(x1)+f(-x2)>0

∵f(-x2)=-f(x2)

∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)>0,即f(x1)>f(x2)

∴f(x)在[-1,1]上是增函数

2)定义域:-1<=x+1/2<=1,-1<=1/(x-1)<=1

∴-3/2<=x<=1/2,x>=2或x<=0

∴-3/2<=x<=0,x-1<0

∵f(x)是增函数,f(x+1/2)<f[1/(x-1)]

∴x+1/2<1/(x-1)

∴(x+1/2)(x-1)>1, 2x²-x-3=(x+1)(2x-3)>0, x>3/2或x<-1

综上,-3/2<=x<-1,解集为[-3/2,-1)

3)f(x)在[-1,1]上单调增,f(x)在[-1,1]上最大值为f(1)=1

即m²-2am+1>=1,m²-2am>=0对a∈[-1,1]恒成立

m²-2am=m(m-2a)>=0

若0<a<=1,则m>=2a或m<=0, ∴m>=2或m<=0

若a=0,则m²>=0, m∈R

若-1<=a<0,则m>=0或m<=-2, ∴m<=-2或m>=0

综上,m<=-2,或m=0,或m>=2,即m的范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)