高二数学选修

1)设抛物线的顶点为O，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于B,C两点，经过抛物线上一点P且垂直于轴的直线与轴交于点Q。求证：︱PQ︱是︱BC︱和︱OQ︱的比例中项。

2）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y^2=2px(p＞0)的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长。

1)设抛物线为y²=2px(p>0).则焦点(p/2,0)

令x=p/2,则y²=p²,y=p或-p

∴B(p/2,p),C(p/2,-p),|BC|=p-(-p)=2p

设P(2pt²,2pt),则Q(2pt²,0)

∴|PQ|=|2pt|,|OQ|=2pt²

|BC|×|OQ|=2p×2pt²=4p²t²=(2pt)²=|PQ|²

∴|PQ|是|BC|和|OQ|的等比中项

2)焦点P(p/2,0),由等边三角形对称性可知,两顶点A,B关于x轴对称

设A(2pt²,2pt),B(2pt²,-2pt)(t>0)

∴|AB|=2pt-(-2pt)=4pt,C到|AB|距离为|2pt²-p/2|

∴|2pt²-p/2|=4pt×(√3/2)=2√3pt

∴|2t²-1/2|=2√3t,解得 t²=(7+4√3)/4或(7-4√3)/4

边长为4pt=(7+4√3)p或(7-4√3)p