求证：从任意n个整数A1，A2·····An中，一定可以找到若干个数，使它们的和可被n整出。。
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解决时间 2021-02-06 05:06
- 提问者网友：骑士
- 2021-02-05 20:49
求证：从任意n个整数A1，A2·····An中，一定可以找到若干个数，使它们的和可被n整出。。
最佳答案
- 五星知识达人网友：夜余生
- 2021-02-05 21:30
证明 考察如下的n个和，a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+…+an.
若其中至少有一个能被n的整除，则结论成立；
若其中没有一个能被n整除；则将他们按模n的剩余类至多可分为余数为1，余数为2，…，余数为n-1的n-1个类.因此,这几个整数中至少有两个整数a1+a2+…+ak和a1+a2+a3+ak+…+al（l＞k）对模n有相同的余数.
这时和数ak+1+…+al=（a1+a2+…+ak+…+a1）-（a1+a2+…+ak）显然可被n整除，即结论成立.
若其中至少有一个能被n的整除，则结论成立；
若其中没有一个能被n整除；则将他们按模n的剩余类至多可分为余数为1，余数为2，…，余数为n-1的n-1个类.因此,这几个整数中至少有两个整数a1+a2+…+ak和a1+a2+a3+ak+…+al（l＞k）对模n有相同的余数.
这时和数ak+1+…+al=（a1+a2+…+ak+…+a1）-（a1+a2+…+ak）显然可被n整除，即结论成立.
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