怎么证明：函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (

怎么证明：函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (

证明：必要性设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x,2b－y）也在y = f (x)图像上,∴ 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b,必要性得证.充分性设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b,即2b－y0 = f (2a－x0) .故点P‘（2a－x0,2b－y0）也在y = f (x) 图像上,而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称,充分性得征.======以下答案可供参考======供参考答案1:轨迹法设(x0,y0)为y=f(x)上一点则有y0=f(x0)证必要(x0,y0)关于(a,b)的对称点为(2a-x0,2b-y0)所以该对称点也在y=f(x)上所以2b-y0=f(2a-x0)所以f(x0)+f(2a-x0)=2b所以f(x)+f(2a-x)=2b证充分因为f(x)+f(2a-x)=2b所以f(x0)+f(2a-x0)=2b所以2b-y0=f(2a-x0)(2b-y0+y0)/2=b(2a-x0+x0)/2=a所以y=f(x)关于（a,b）对称所以是充要条件供参考答案2:设(x,y)关于点A (a ,b)对称的点为：(x1,y1)由(x+x1)/2=a,(y+y1)/2=b得x1=2a-x,y1=2b-y必要性：即 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称，则f(x)+f(2a-x)=y+y1=2b充分性：即f (x) + f (2a－x) = 2b，则f(2a-x)=f(x1)=2b-f(x)=2b-y=y1也就是(x,y)在曲线上，其关于A点对称的点也在曲线上

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