337×()²=1²+2²+…+337² 120

337×()²=1²+2²+…+337² 120

根据平方数列求和公式：1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6
可知 1²+2²+…+337²=337*（337+1）*（2*337+1）/6

=337*338*675/6
=337*（338/2）*（675/3）
=337*169*225
=337*13²*15²
=337*(13*15)²
=337*195²
所以原式括号中的所求数字是195

你可能是忙中出错了，请你认真核查原题。若原题是： 337n^2＝1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋6^2＋······＋337^2，则n＝＿＿＿＿。 则方法如下： ∵1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋6^2＋······＋337^2＝337×338×（2×337＋1）/6， ∴n^2＝338×（2×337＋1）/6＝169×675/3＝13^2×225＝13^2×15^2＝（13×15）^2 ∴n＝13×15＝195。 现在给出 1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋6^2＋······＋n^2＝n（n＋1）（2n＋1）/6 的证明。 ∵（a＋1）^3＝a^3＋3a^2＋3a＋1 ∴（a＋1）^3－a^3＝3a^2＋3a＋1 依次令a＝1、2、3、4、5、······、n，依次可得： 2^3－1^3＝3×1^2＋3×1＋1 3^3－2^3＝3×2^2＋3×2＋1 4^3－3^3＝3×3^2＋3×3＋1 5^3－4^3＝3×4^2＋3×4＋1 ······ （n＋1）^3－n^3＝3n^2＋3n＋1 将上述n个式子相加，得： （n＋1）^3－1＝3（1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋······＋n^2）＋3（1＋2＋3＋4＋······＋n）＋n ∴3（1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋······＋n^2） ＝（n＋1）^3－1－3（1＋2＋3＋4＋······＋n）－n ＝（n＋1）^3－3（n＋1）n/2－（n＋1）＝（n＋1）［（n＋1）^2－3n/2－1］ ＝（n＋1）（n^2＋2n＋1－3n/2－1）＝n（n＋1）（n＋2－3/2）＝n（n＋1）（2n＋1）/2 ∴1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋······＋n^2＝n（n＋1）（2n＋1）/6。 下面证明：337n^2＝1^2＋2^2－3^2＋4^2＋5^2－6^2＋······－336^2＋337^2是不成立的。 ∵1^2＋2^2－3^2＋4^2＋5^2－6^2＋······－336^2＋337^2 ＝1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋6^2＋······＋337^2 －2（3^2＋6^2＋9^2＋······＋336^2） ＝337×338×（2×337＋1）/6－2×3^2（1^2＋2^2＋3^2＋······＋112^2） ＝337×338×（2×337＋1）/6－2×3^2×112×113×（2×112＋1）/6 ∵337是一个素数，而2×3^2×112×113×（2×112＋1）中的每个因数都不是337的整数倍， ∴337不能整除2×3^2×112×113×（2×112＋1），而337能整除337×338×（2×337＋1）， ∴此时n不可能是整数。