几个复变积分，会的来看看
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解决时间 2021-12-03 10:24
- 提问者网友：动次大次蹦擦擦
- 2021-12-02 21:52
几个复变积分，会的来看看
最佳答案
- 五星知识达人网友：长青诗
- 2021-12-02 22:51
设f(z)=e^z/(z²+1)。令z²+1=0，∴z=±i。∴f(z)有两个一阶极点z1=i，z2=-i。
(1)，在丨z-i丨=1的域内，仅有极点z1=i。∴由柯西积分定理，原式=(2πi)Res[f(z),z1=i]= πe^i。
(2)，在丨z+i丨=1的域内，仅有极点z2=-i。∴由柯西积分定理，原式=(2πi)Res[f(z),z2=-i]= -πe^(-i)。
(3)，在丨z丨=2的域内，有极点z1=i、z2=-i。∴由柯西积分定理，原式=(2πi)Res[f(z),z1=i]+(2πi)Res[f(z),z2=-i]=πe^i-πe^(-i)=π[e^i-e^(-i)]=(2πi)sin1。
供参考。
(1)，在丨z-i丨=1的域内，仅有极点z1=i。∴由柯西积分定理，原式=(2πi)Res[f(z),z1=i]= πe^i。
(2)，在丨z+i丨=1的域内，仅有极点z2=-i。∴由柯西积分定理，原式=(2πi)Res[f(z),z2=-i]= -πe^(-i)。
(3)，在丨z丨=2的域内，有极点z1=i、z2=-i。∴由柯西积分定理，原式=(2πi)Res[f(z),z1=i]+(2πi)Res[f(z),z2=-i]=πe^i-πe^(-i)=π[e^i-e^(-i)]=(2πi)sin1。
供参考。
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