设A为n阶方阵，满足A²＝E，试证：R（E＋A）＋R（E-A）＝n

设A为n阶方阵，满足A²＝E，试证：R（E＋A）＋R（E-A）＝n

提供两个方法
因为A^2-E=0，所以x^2-1为A的零化多项式，由于x^2-1无重因式，所以A可对角化，显然1、-1为A的特征值
设A=P^（-1）BP，其中B=diag｛Er，-Es｝，则E+A=P^（-1）（E+B）P，其中E+B=diag｛2Er，0｝
，E-A=P^（-1）（E-B）P，其中E-B=diag｛0，2Es｝根据相似矩阵秩相同，可得r（E+A）+r（E-A）=r+s=n追答如果没学到相关内容，单用矩阵秩的关系也可以
引理：
（1）对于m乘n阶矩阵A、n乘s阶矩阵B：若AB=0，则r（A）+r（B）<=n
（2）对于n阶矩阵A、B，有r（A+B）<=r（A）+r（B）
证明上面的两个引理：
（1）因为AB=0，所以B的列向量均为AX=0的解，则B的列向量组的秩不超过AX=0的解空间W的维数，即r（B）<=dimW=n-r（A）（齐次线性方程组解空间维数等于未知量个数减去系数矩阵的秩），从而r（A）+r（B）<=n
（2）设a1，…，an为A的列向量，b1，…，bn为B的列向量，不妨设a1，…，ar为A的列向量的极大线性无关组，b1，…，bl为B的列向量的极大线性无关组，则a1，…，an均可由a1，…，ar线性表出，b1，…，bn均可由b1，…，bl线性表出，从而A+B的列向量a1+b1，…an+bn均可由a1，…，ar，b1，…，bl线性表出，从而r（A+B）<=r（a1，…，ar，b1，…，bl）<=r（a1，…，ar）+r（b1，…，bl）=r（A）+r（B）
现在来证明该题：
利用（1），有r（E+A）+r（E-A）>=r（E+A+E-A）=r（2E）=n
又E-A^2=（E+A）（E-A）=0
从而利用（2）可得r（E+A）+r（E-A）<=n
所以r（A）+r（A-E）=n追问…呃…这题后来自己做了…第一个没学到…第二个还好…谢谢了

是的追问问证明过程啊亲