在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使三角形ACP仍然是以AC为直角边的直角三角形

在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使三角形ACP仍然是以AC为直角边的直角三角形

budao

解： （1）抛物线的顶点坐标公式可知： － b =1,a=1,所以得 b=－2; 2a 4 4ac－b2 =－2,a=1,b=－2,求得 c=－1； 4a 所以，此抛物线的解析式为 y=x －2x－1 ， 或者：因为 y=x2+bx+c 的顶点坐标为（1，－2） 2 2 所以 y=(x－1) －2,即 y= x －2x－1. (2)由于点 a、点 b 是关于对称轴对称的两个点，点 c 是对 p 称轴上的点，所以，ac=bc。 又，点 d 是点 c 关于 x 轴的对称点， c (f) 所以，ad=bd=ac=bc， 因此，四边形 acbd 是菱形，直线 pe 把四边形 acbd 分 成两个面积相等的四边形，所以 pe 经过四边形 acbd 的对称中心即（1，0） ， 所以设pe 所在的直线解析式为：y=kx－1 将(1，0）代入直线 pe 的解析式解得：得 k=1 所以， pe所在直线的解析式为：y=x－1 设 e（x,x－1）,代入 y= x2－2x－1，得 x－1= x2－2x－1, 解得：x1=0,x2=3, 根据题意得，e（3，2） （3）假设存在这样的点 f，可设 f（x，x2－2x－1） ，过点 f 作 fg⊥y 轴，垂足为点 g， 在 rt △pom 和 rt △fgp 中， 因为∠omp+∠opm=90°，∠fpg+∠opm=90°， 所以，∠omp=∠fpg， 又，∠pom=∠pgf， 所以，△pom ∽△fgp，om gp 所以， = . op gf 又，om=1，op=1，所以，gp=gf， 即－1－（x2－2x－1）=x, 解得 x1=0,x2=1,根据题意得，f（1，－2） 。 以上各步均可逆，故点 f（1，－2）即为所求。s△pef=3