在△ABC中,C=90°,AC=二分之一BC,以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点。 求证 AE⊥EB

在△ABC中,C=90°,AC=二分之一BC,以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点。 求证 AE⊥EB

∵∠ABC=90°，∠D=90°，AC：BC=1:2，ED：BD=1:2
∴△ABC∽△EBD
∴∠ABC=∠EBD
∴∠ABE=∠CBD=45°
又∵AB：BE=√2：1（根据比例和勾股定理算）
∴△AEB是等腰直角三角形（相似）
∴∠AEB=90°
∴AE⊥EB

有个小问题……△BCD有两种做法，一种是面积重合，一种是一条边重合，第一种不可能证垂直，第二种如上证……

以BC为底作等腰直角三角形BCD,
∠DBC=∠DCB=45度,
BD=CD=BC/√2=BC√2/2,
ED=CE=CD/2=BC√2/4,
BE²=BD²+ED²=BC²/2+BC²/8=5BC²/8

做EF垂直于AC延长线,垂足F,
∠ECF=90度-∠DCB=90度-45度=45度=∠CEF,
CF=EF=CE/√2=(BC√2/4)/√2=BC/4

AE²=AF²+EF²
=(AC+CF)+EF²
=(BC/2+BC/4)²+BC²/16
=9BC²/16+BC²/16
=5BC²/8

BE²+AE²=5BC²/8+5BC²/8=5BC²/4

直角三角形ABC中,
AB²=AC²+BC²=BC²/4+BC²=5BC²/4=BE²+AE²
所以AE垂直EB.

图呢 向上做BCD还是向下