数学几何奥数

1.正方形ABCD内一点E,F到A,B,C三点的距离之和的最小值为根号2+根号6,求此正方形的边长

2.已知△ABC中，∠BAC=90°，E,D是BC的三等分点。求证AE的平方+AD的平方=5/9BC的平方

连接AC，E必在三角形ABC内
1）作BD垂直AC，垂足为D，E必在BD上。
   （这步证明比较麻烦）
2）设角EAD=α=角ECD，AC=2a
  EA+EB+EC=2a/cosα+a-atanα
    =a+a(2/cosα-tanα）
   设t=2/cosα-tanα
    t*cosα=2-sinα
    t^2(1-sin^2α）=（2-sinα）^2
    (t^2+1)sin^2α-4sinα+4-t^2=0
    Δ=16-4(4-t^2)(t^2+1)≥0
    t^2≥3
    t≥根号3
   EA+EB+EC的最小值为a+a*根号3
   所以a=根号2
  AC=2*根号2
  AB=2,即正方形的边长为2.

证明：
设BD＝DE＝EC＝BC/3
过D作DM⊥AB，过E作EN⊥AC
因为∠BAC＝90°
所以DM//AC
所以DM/AC＝BM/AB＝BD/BC＝1/3
所以DM＝AC/3，AM＝2AB/3
同理EN＝AB/3，AN＝2AC/3
在Rt△ADM和Rt△AEN中分别运用勾股定理得：
AD^2＝AM^2＋DM^2
＝(2AB/3)^2＋(AC/3)^2
AE^2＝AN^2＋EN^2
＝(2AC/3)^2＋(AB/3)^2
所以
AD^2＋AE^2
＝(2AB/3)^2＋(AC/3)^2＋(2AC/3)^2＋(AB/3)^2
＝5(AB^2＋AC^2)/9
又因为AB^2＋AC^2＝BC＾2
所以AD^2＋AE^2＝5BC^2/9
供参考！祝你学习进步