证明10^k≡（-1)^k（mod11）我要的是证明过程！！！！

证明10^k≡（-1)^k（mod11）我要的是证明过程！！！！

10^n≡（-1)^n（mod11）
by MI
n=1
LS=10^1= 10= (-1)^1(mod11)
Assume p(k) is true
ie
10^k≡（-1)^k(mod11)
for n=k+1
LS
10^(k+1)
=10^k (10)
=[ （-1)^k(mod11) ]. 10
= [ （-1)^k+ 11m ]. 10 ( where m is +ve integer )
= (-1)^k.10 + 110m
= (-1)^k.10 (mod 11)
= (-1)^k ( 11-1) (mod 11)
= (-1)^(k+1) ( mod 11 )
By principle of MI it is true for all n

首先，10=-1(mod11)
再根据性质，若a=b(modm)则a^k=b^k(modm)，所以10^k≡（-1)^k（mod11）

用数学归纳法。
k=1时，10≡（-1)（mod11），显然成立；
设10^k≡（-1)^k（mod11），
那么10^(k+1)=10·10^k≡(-1)·（-1)^k（mod11）
即 10^(k+1)≡（-1)^(k+1) （mod11）
从而 命题成立。

解：
利用二项展开式：

前面k项都含有因式11，所以10^k除以11的余数为（-1）^k除以11的余数
所以10^k≡（-1)^k（mod11）