计算二重积分,∫∫(x+y)dxdy,其中D为x^2+y^2≤x+y

计算二重积分,∫∫(x+y)dxdy,其中D为x^2+y^2≤x+y

这题的积分区域---圆域的圆心为（1/2,1/2),半径为(√2)/2因为圆心非原点,所以无论用直角坐标还是极坐标,上下限都不好确定.所以应想到把圆域平移到原点处,即用坐标变换.但二重积分的坐标变换涉及到雅克比公式,一般来说比较麻烦,而此题只是平移,不涉及旋转,变形之类得,所以可省去雅克比的过程.令x=(1/2)+u,y=(1/2)+v,则积分圆域变为以（0,0）为圆心,以(√2)/2为半径.而原积分=∫∫(1+u+z)dudv因为,变换后的积分区域关于u轴和v轴都对称,且被积函数1+u+z关于u和v分别为奇函数所以,∫∫ududv=∫∫vdudv=0 故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=变换后圆域面积=π/2（但注意,平移的时候能像这样代入,因为雅克比行列式等于1,其他变换还要乘以雅克比行列式.）

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