已知对于任意两个实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若f（-3
答案:2 悬赏:80 手机版
解决时间 2021-02-02 23:18
- 提问者网友：未信
- 2021-02-02 20:01
已知对于任意两个实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若f（-3）=2，求f（2）．
最佳答案
- 五星知识达人网友：北城痞子
- 2021-02-02 20:15
（1）取x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0；
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数；
（2）∵f（x）是奇函数，∴f（3）=-f（-3）=-2，
又∵f（3）=f（1）+f（2）=f（1）+[f（1）+f（1）]=3f（1），
∴f(1)＝?
2
3 ，f(2)＝f(1)+f(1)＝?
4
3 ．
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数；
（2）∵f（x）是奇函数，∴f（3）=-f（-3）=-2，
又∵f（3）=f（1）+f（2）=f（1）+[f（1）+f（1）]=3f（1），
∴f(1)＝?
2
3 ，f(2)＝f(1)+f(1)＝?
4
3 ．
全部回答
- 1楼网友：荒野風
- 2021-02-02 21:52
此题常见解法是：
第一步：求一些特殊的值，那就需要代入了。
令x=y=0可得，2f(0)=2[f(0)]^2
得：f(0)=1或f(0)=0（这个得舍去 ）
第二步：
令x=0，得
f(-y)+f(y)=2f(0)f(y)
即，f(-y)+f(y)=2f(y)
得：f(-y)=f(y)
所以，f(x)是偶函数
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