半圆内接梯形，梯形一边刚还是半圆直径，求梯形面积最大值？
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解决时间 2021-07-21 15:57
- 提问者网友：雪舞兮
- 2021-07-20 21:16
半圆内接梯形，梯形一边刚还是半圆直径，求梯形面积最大值？
最佳答案
- 五星知识达人网友：冷風如刀
- 2021-07-20 22:24
因为梯形ABCD内接于半圆 不妨设AB CD分别为下底和上底 很显然能内接必有AB//CD 若固定CD 任意在半圆内移动AB 容易看出当AB为直径时 梯形的面积会越来越大 接着固定AB为直径 移动CD 显然高也随着变动
不妨设上底上为2x 则高为根号（R^2-x^2)
则有S=1/2*(2R+2x)*根号（R^2-x^2) 令x=Rsint t属于（0，派/2）
即S=R^2*(1+sint)*cost 对其求导 S'=R^2*(-sint+cost*cot-sint*sint)
令S'=0 则有-sint+1-sint^2-sint^2=0 sint=1/2( sint=-1舍去）
故有x=R/2 即上底为R 下底为2R 高为（根号3）R/2
S最大为3(根号3）R^2/4
不妨设上底上为2x 则高为根号（R^2-x^2)
则有S=1/2*(2R+2x)*根号（R^2-x^2) 令x=Rsint t属于（0，派/2）
即S=R^2*(1+sint)*cost 对其求导 S'=R^2*(-sint+cost*cot-sint*sint)
令S'=0 则有-sint+1-sint^2-sint^2=0 sint=1/2( sint=-1舍去）
故有x=R/2 即上底为R 下底为2R 高为（根号3）R/2
S最大为3(根号3）R^2/4
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