已知函数f（x）=ax+1?xax（a＞0）．（1）用单调性的定义判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明

已知函数f（x）=ax+1?xax（a＞0）．（1）用单调性的定义判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明；（2）设f（x）在0＜x≤1的最小值为g（a），求y=g（a）的解析式．

（1）f（x）=ax+
1
ax -
1
a
f（x）在（0，
1
a ）上是单调递减的，在（
1
a ，+∞）上单调递增的；
理由如下：设x1，x2是（0，
1
a ）上的任意两个值，且x1＜x2，则△x=x2-x1＞0，
△y=f（x2）-f（x1）=ax2+
1
ax2 -ax1-
1
ax1 =a（x2-x1）+
1
ax2 -
1
ax1
=a（x2-x1）+
x1?x2
ax1x2 =（x2-x1）（a-
1
ax1x2 ）
=（x2-x1）?
a2x1x2?1
ax1x2
∵0＜x1＜
1
a ，0＜x2＜
1
a ∴0＜x1x2＜
1
a2 ∴0＜ax1x2＜1，
ax1x2-1＜0   又△x=x2-x1＞0，ax1x2＞0，
∴△y=f（x2）-f（x1）＜0
∴f（x）在（0，
1
a ）上是单调递减，同理可证f（x）在（
1
a ，+∞）上单调递增； 
（2）当0＜
1
a ≤1即a≥1时，f（x）在（0，1]上单调递减，
∴fmin（x）=f（1）=a；
当
1
a ＞1即0＜a＜1时，f（x）在（0，
1
a ]单调递减，在[
1
a ，1]单调递增，
∴fmin（x）=f（
1
a ）=2-
1
a
∴g（a）=







a，a≥1
2?
1
a ，0＜a＜1 ．

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