高中选修2-1第三章习题3.2A组第四题

高中选修2-1第三章习题3.2A组第四题
正方形ABCD-A1B1C1D1ZHONG,点E,F,G,H,K,L分别是AB,BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA各棱的中点,【1】求证A1C垂直于平面EFGHKL.【2】求DB1与平面EFGHKL所成角的余弦值

1.证明： 建立空间直角坐标系连接EH,设正方体为单位正方体,则有
A₁(1,0,1) C（0,1,0）H（0,1/2,1)E（1,1/2,0）F（1,1,1/2）
∴向量A₁C＝（-1,1,-1）向量HE＝（1,0,-1）向量EF＝（0,1/2,1/2）
设平面EFGHKL的法向量为向量n=（x,y,z) 则有
向量n×向量HE=x-z=o
向量n×向量EF=y/2+z/2=0 令x=2 则z=2 y=-2
即向量n=(2,-2,2)
∵向量n=λ向量A₁C
解得λ=-2
∴向量n‖向量A₁C
∴向量A₁C‖平面EFGHKL
即A₁C‖平面EFGHKL
2.设DB₁与平面EFGHKL的夹角为θ
D（0,0,0）B₁（1,1,1）
∴向量DB₁=（1,1,1）
由一知法向量n=(2,-2,2)
∴Cos（向量n,向量DB₁）=向量n×向量DB₁／向量n的膜×向量DB₁的膜=根号3／3
即Cosθ=根号3/3