中科大自主招生试题，

数学：
选择（选项顺序已记不清，共四道）
第一题：a^2+b^2>0,则绝对值a>0且绝对值b>0的否命题是
1.a^2+b^2<=0,则绝对值a<0或绝对值b<0
2.a^2+b^2<=0,则绝对值a<0且绝对值b<0
3.a^2+b^2<=0,则绝对值a<=0或绝对值b<=0
4.a^2+b^2<=0,则绝对值a<=0且绝对值b<=0
第二道，第三道记不清，其中一道是求分段函数的反函数。另一道记不得。
第四道：sin6*sin42*sin66*sin78的值
1.1/2
2.1/4
3.1/16
4.1/32
编者评价：选择题较简单，但当时第四道选择题题目出错，把sin66打印成sin56。着实吓我。

填空题：（只记得其中几道，顺序全不知道，共五道，）
1.x属于（-π/2,π/2，编者注：不确定）,求8/sinx+1/cosx的最小值。
2.一个正方体的各个面的中心取一点，从这些点中取三点，可构成三角形，甲乙两人互相独立，甲取出的三角形与乙的三角形相似的概率是
编者评价：等我想起其他题，再补充。

解答题：（共六道）
1.证明：x^2+xy+y^2>=3*(x+y-1)对任意的实数x，y都成立。
2.数列Xn，Yn满足下式：
X(n+2)=2X(n+1)+Xn,Y(n+2)=Y(n+1)+2Yn
求证：存在n。，使得一切正整数n>n。，都使Xn>Yn。
3.

如图，三角形ABC的面积为1，D为AB的三等分点，E为BC的三等分点，F为AC的三等分点.,求三角形GIH的面积。
4.有2008个白球和2009个黑球全部在直线排成一列，求证，必有一个黑球的左边的黑球和白球数量相等（包括0）。
5.N+是正整数集，为全集。（n+n!，n是正整数）为A的集合，B是A的补集。 (1)试证明：不可能从B集合中取出无限个元素，使无限个元素成为等差数列。 (2)能否从B集合中取出无限个元素，使无限个元素成为等比数列，说明理由。
6.边长为1的正方形ABCD,将正方形沿折痕折起，使得D点落在AB线段上，求折痕所在点集形成的面积。

http://user.qzone.qq.com/465532098?ptlang=2052 的第一篇日志

我也是考的，说下我觉得难的几道题是怎么做的吧：
填空的第一题：
我做的时候是用导数做的，一导，可以求出sinX:cosX=2:1的时候,有最值,为125的平方根.
解答的最后一题:
我是先把证明了折痕上的点都可以满足原点到折痕上的点等于折痕上的点到AB段任何一点的距离,可以列出一个等式,假设折痕上的点的坐标是(X,Y),那么有:当1/2<=X<=1时,有(1-Y)^2<=X^2+Y^2<=X^2+(1-Y)^2
当0<=X<1/2时,有(1-Y)^2<=X^2+Y^2<=(1-X)^2+(1-Y)^2,
解上面的不等式,可以看出是要求的一段面积是抛物线,是很基本的,用微积分下就可以出来了.
其他的都不算太难,就不详细说了...

不要听122.231瞎说 一般情况下,只要自己比较努力,毕业时拿到美国全额奖学金留学没有太大问题,并且都是去美国top100以内的学校. 注意是有奖学金的,家里不会有负担. 如果不想出国,想要去国内比较好的单位读研,是非常容易的,因为排名靠前的基本都是出国.只要成绩在保研的人中较高,保送到中科院或者清华北大读研都没问题.有的系和专业保研名额根本都用不完. 如果考研的话,估计你的水平也是没问题的.不过科大大部分人都出国或者保研了,考研的很少. 另外,在科大的学习也没有那么累.感觉比高中还是轻松一些.那些抱怨竞争激烈的,恕我冒犯,估计大部分是不好好学总想玩的.他们的意见没什么价值 更多问题,欢迎去科大招生网询问,那里的版主等都非常负责 另外一楼说的"在同等努力下其它学校更有收获",主要取决与你将来的安排.例如想要出国的话来科大肯定是没错的.如果想去金融经济等挣钱的行业,可能科大相对差一些.总之要多方打听.一个人的认识有限,不可完全相信

选择：一：3；四：3； 填空：第一题记错了：令x在左侧趋于0，8/sinx+1/cosx趋于－∞ 第二题：13/25 解答题：1.令x=u+v;y=u-v带入化简成3*（u-1)^2+v^2≥0即可 2.缺条件，反例：x1=-1,x2=-2;y1=1,y2=2 3.把题叙述好点！ 4.①若第一个是黑球，则命题显然成立。 ②若第一个是白球。将球从左到右编号为1，2，3...4017。 假设命题不真，则第一个球不是黑球，而第一个出现的黑球k左侧，白球个数多于黑球（这是显然的）。 下面先证引理：不存在黑球，它的左边白球的个数少于黑球。否则，假设编号最小的黑球i左边白球的个数少于黑球，并设它左边第一个黑球（它是肯定存在的，因其左侧有一球k，它左侧白球个数多余黑球）的编号为j，（显然i>j)。因为球i的左侧白球的个数少于黑球，而若i,j之间无白球则j的左侧白球的个数与黑球个数相等与假设矛盾。所以i,j之间必存在至少一个白球，这样j的左侧白球的个数会比i左侧减少至少1个，而黑球仅减少1个，于是，j的左侧白球的个数少于黑球，而j下面证命题：事实上，最后一个黑球左侧有2008个黑球，而白球的个数少于2008（由假设它不会是2008个），但是由引理这种现象不会发生，故假设不真。于是命题得证。 5.设此等差数列存在为a。+b。*n并设a。，b。为任意正整数，下面证存在m，n,使得m+m!=a。+b。*n…………………………………………………………① 我们仅在m>b。时讨论这一情形，取m=a。+b。代入①求得n=[b。+（a。+b。）！]/b。它显然是整数，这样便找到了。即我们任找的等差数列就都有{x|x=m+m!}中的项。 6.建立坐标系A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)E(x0,0)(0≤x0≤1) DE的斜率:-1/x0，设其中垂线为PQ，则其斜率为x0.PQ的方程为x0*x-y-（x0^2）/2+1/2=0……………………………………………………………① 反过来：任给x,y.若它在折痕上，则代入PQ的方程可解得x0的值Δ≥0→y≤(x^2+1)/2 其次：x0在[0,1]上判定①的根的取值方法这里略去了。 将会得到：所求面积为：y=(x^2+1)/2,x=0,y=x(x∈[0,1/2])y=1/2(x∈[1/2,1])所围成曲线的面积为：1/2+∫[(x^2+1)/2-x]dx=2/3(x从0到1的定积分) zhoupj_123的第6题解错了，不是抛物线，是抛物线去掉一个一小块