已知坐标平面内OA=(1,5),OB=(7,1),OM=(1,2),P是直线OM上的一个动点，当PA*PB取最小值时，求OP的坐标，

答案:3 悬赏:50 手机版

解决时间 2021-01-26 06:53

提问者网友：黑米和小志
2021-01-25 19:45

并求cosAPB的值

最佳答案

五星知识达人网友：白昼之月
2021-01-25 21:11

解：直线OM斜率是2，所以其方程是y=2x
P在上面，所以设P坐标是（x,2x)
所以PA向量=(1-x,5-2x),PB向量=(7-x,1-2x)
所以PA乘以PB
=(1-x)(7-x)+(5-2x)(1-2x)
=7-8x+x^2 + 5-12x+4x^2
=5x^2 -20x+12
这是一个二次函数，在x=20/(2*5)=2处取最小值，最小值是5*4-40+12
=-8
此时OP坐标为（2，4）

PA=（-1，1） PB=（5，-3）
|PA|=根号2，|PB|=根号34

所以向量PA点乘PB=-8=|PA|*|PB|*cosAPB=2倍根号17 * cosAPB

所以APB余弦值为-4/根号17

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1楼网友：天凉才是好个秋
2021-01-25 22:10

楼上正解，不解释

2楼网友：平生事
2021-01-25 21:42

因为点p在直线om：y=0.5x 上所以可设op=（x，0.5x）则 pa=（1-x，7-0.5x） pb=（5-x，1-0.5x） pa.pb=（1-x）*（5-x）+（7-0.5x）*（1-0.5x） =1.25x*x-10x+12 由这个方程可以知道当x=4时有最小值 -8 所以p点坐标为（4，2）

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