差分方程的意义性质

差分方程的意义性质

差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。
比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程， x取值[0,1]
(注：解为y(x)=e^(-x));
要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1]
这样上述微分方程可以离散化为：y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 个离散方程组）
利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出 y(k/n) 的近似值了。
§1 基本理论1. 差分
2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ如下：
Δxn=xn+1-xn
对新数列再应用差分算子，有
Δ2xn=Δ（Δkxn). 性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn
性质2 Δk(cxn)=cΔkxn
性质3 Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j
性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1，存在η，有 Δkxn=f(k）（η）
差分方程
定义8.1 方程关于数列的k阶差分方程：
xn-a1xn-1-a2xn-2-……akxn-k=b (n=k,k+1，……）
其中a1,a2,------ak 为常数， ak≠0. 若b=0，则该方程是齐次方程
关于λ 的代数方程
λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0
为对应的特征方程，根为特征值。