a,b两个数互质 且a*b是一个完全平方数 如何证明a和b都是完全平方数?

a,b两个数互质 且a*b是一个完全平方数 如何证明a和b都是完全平方数?

方法一：设ab=u²由于(a,b)=1,所以a=a(a,b)=(a²,ab)=(a²,u²)=(a,u)²同理b=(b,u)².证毕.方法二：可设a=m²*a1,b=n²*b1,其中a1,b1不被任何质数平方整除.由于(a,b)=1,所以(a1,b1)=1.设ab=u²,则ab=(mn)²*a1*b1=u²,a1*b1=(u/mn)²=t²,下面证明t=1.若t>1,则有质数p|t,从而p²|t²=a1*b1,即得p至少整除a1,b1中的一个,又因为a1,b1不被质数平方整除,于是p|a1且p|b1,但这与a1,b1互质矛盾.故t=a1=b1=1,这就证明了a=m²,b=n².证毕.方法三：用算术基本定理更简单直接.这里不好打那些符号,你自己做吧.

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