设在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片，标号分

设在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为x，y，设随机变量ξ=|x-2|+|y-x|．
（1）写出x，y的可能取值，并求随机变量ξ的最大值；
（2）求事件“ξ取得最大值”的概率；
（3）求ξ的分布列和数学期望与方差．

（1）x，y的可能取值都为1，2，3．
|x-2|≤1，|y-x|≤2，∴ξ≤3，
∴当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ取最大值3．…（3分）
（2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数n=3×3=9，
∴P（ξ=3）=
2
9 ．…（4分）
（3）ξ的所有取值为0，1，2，3，
当ξ=0时，只有x=2，y=2这1种情况，∴P（ξ=0）=
1
9 ．
当ξ=1时，只有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3，或x=3，y=3，
共4种情况，
∴P（ξ=1）=
4
9 ；
当ξ=2时，只有x=1，y=2，或x=3，y=2这2种情况，
∴P（ξ=2）=
2
9 ．
当ξ=3时，P（ξ=3）=
2
9 ，…（7分）
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ 0 1 2 3
P
1
9
2
9
4
9
2
9 ∴数学期望Eξ=0×
1
9 +1×
2
9 +2×
4
9 +3×
2
9 =
14
9 ，
方差Dξ=
1
9 (0?
14
9 )2+
2
9 (1?
14
9 )2+
4
9 (2?
14
9 )2+
2
9 (2?
14
9 )2=
8
9 ．…（9分）

（i）∵x，y可能的取值为2、3、4，∴|x-3|≤1，|y-x|≤2 ∴ξ≤3，且当x=2，y=4，或x=4，y=2时，ξ=3．即事件ξ=3对应的基本事件有两种        因此，随机变量ξ的最大值为3 ∵有放回地抽两张卡片的所有情况有 3×3=9种， ∴p(ξ=3)= 2 9 ． 答：随机变量的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为 2 9 ． （ii） ξ的所有 取值为0，1，2，3．∵ξ=0时，只有 x=3，y=3这一种情况，ξ=1时， 有 x=2，y=2或x=3，y=2或x=3，y=4或x=4，y=4四种情况，ξ=3时，有 x=2，y=3或x=4，y=3两种情况． ∴p(ξ=0)= 1 9 ，p(ξ=1)= 4 9 ，p(ξ=2)= 2 9 …（10分） 则随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 p 1 9 4 9 2 9 2 9 因此，数学期望eξ=0× 1 9 +1× 4 9 +2× 2 9 +3× 2 9 = 14 9 ．…．（12分）