已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的个数是（　　）①f（x）既是奇函数，又是周期函数 ②y=f（x

已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的个数是（　　）①f（x）既是奇函数，又是周期函数 ②y=f（x）的图象关于直线x＝π2对称③f（x）的最大值为439④y=f（x）在[?π6，π6]上是增函数．A．1B．2C．3D．4

①∵f（-x）+f（x）=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，
∴函数f（x）=cosxsin2x是奇函数，
又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，
∴函数f（x）=cosxsin2x是周期函数，命题①正确；
②∵f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x=
π
2 对称，
命题②正确；
③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1-sin2x）=2sinx-2sin3x，
令t=sinx∈[-1，1]，则y=2t-2t3，t∈[-1，1]，则y′=2-6t2，令y′＞0，
解得-




3
3 ＜t＜




3
3 ，故y=2t-2t3，在[-




3
3 ，




3
3 ]上增，在[-1，-




3
3 ]与[




3
3 ，1]上减，
又y（-1）=0，y（




3
3 ）=
4



3
9 ，故函数的最大值为
4



3
9 ，命题③正确；
④∵t=sinx在[?
π
6 ，
π
6 ]上是增函数，而[?
1
2 ，
1
2 ]?[-




3
3 ，




3
3 ]，
由③知，y=f（x）在[?
π
6 ，
π
6 ]上是增函数．
∴正确命题的个数是4个．
故选：D．

对于a选项，因为f（2π-x）+f（x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，a正确； 对于b选项，因为f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x= π 2 不对称，故b正确； 对于c选项，f（x）=cosxsin2x=2sinxcos 2 x=2sinx（1-sin 2 x）=2sinx-2sin 3 x，令t=sinx∈[-1，1]，则y=2t-2t 3 ，t∈[-1，1]，则y′=2-6t 2 ，令y′＞0解得 - 3 3 ＜t＜ 3 3 ，故y=2t-2t 3 ，在[ - 3? 3 ， 3? 3 ]上增，在[ -1，- 3? 3 ]与[ 3? 3 ，1 ]上减，又y（-1）=0，y（ 3? 3 ）=，故函数的最大值为 4 3 9 ，故c错误； 对于d选项，因为f（-x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数 ，故d正确 综上知，错误的结论只有c， 故选c