0)的离心率e=√2 /2,短轴右端点为A,M(1,0)为线段OA的中点.问题：过M点任作一条直线与

0)的离心率e=√2 /2,短轴右端点为A,M(1,0)为线段OA的中点.问题：过M点任作一条直线与

∵短轴右端点为A,M(1,0)为线段OA的中点∴A（2,0）∴b=2又∵e=c/a=√2/2∴a=√2c又∵a²=b²+c²∴2c²=4+c²∴c=2∴a=2√2∴椭圆：x²/4+y²/8=1令N（n,0）,如果直线PQ无斜率,则由椭圆对称性可得∠PNM=∠QNM,于是只考虑PQ有斜率的情况,令PQ斜率为k,M（1,0）在PQ上,于是PQ：y=k（x-1）代入椭圆方程得x²/4+k²（x-1）²/8=1整理得（2+k²）x²-2k²x+k²-8=0于是x=[k²±√（6k²+16）]/（2+k²）y=k（x-1）=[-2k±k√（6k²+16）]/（2+k²）这其实就是P、Q的坐标,令PN、QN的斜率分别为Kp、Kq,合记做K,由于直线NM就是x轴,故∠PNM=∠QNM只需Kp=-Kq,P、Q坐标已求出,N（n,0）已令,于是K=（y-0）/（x-n）=y/（x-n）={[-2k±k√（6k²+16）]/（2+k²）}/{[k²±√（6k²+16）]/（2+k²）-n}=[-2k±k√（6k²+16）]/[k²±√（6k²+16）-2n-nk²]【上式分子分母同乘[-2k∓k√（6k²+16）]进行分子有理化,并记A=√（6k²+16）】=[4k²-k²（6k²+16）]/（-2k³∓2kA+4nk+2nk³∓k³A-6k³-16k±2nkA±nk³A）由Kp=-Kq得（为了更容易看明白,我再多写点——不妨Kp=[4k²-k²（6k²+16）]/（-2k³-2kA+4nk+2nk³-k³A-6k³-16k+2nkA+nk³A）则Kq=[4k²-k²（6k²+16）]/（-2k³+2kA+4nk+2nk³+k³A-6k³-16k-2nkA-nk³A）-Kq=[4k²-k²（6k²+16）]/（2k³-2kA-4nk-2nk³-k³A+6k³+16k+2nkA+nk³A）对比Kp=-Kq得-2k³+4nk+2nk³-6k³-16k=2k³-4nk-2nk³+6k³+16k于是2k³-4nk-2nk³+6k³+16k=0 ）2k³-4nk-2nk³+6k³+16k=02nk³+4nk=8k³+16k上式恒成立要同时满足2n=8 4n=16恰好存在n=4同时满足以上二式因此得N（4,0）综合上述,在x轴上存在定点N（4,0）,使∠PNM=∠QNM.

谢谢解答