为啥圈住的地方结果为0。。。。xy的重积分为0，，但是后面还有f（u）啊，，，可以提出来？

为啥圈住的地方结果为0。。。。xy的重积分为0，，但是后面还有f（u）啊，，，可以提出来？

基本上是对称性造成的
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先简化题目
假设f(x)的原函数是F(x)
那么∫<0,(xy)^2>f(u)du=F((xy)^2)-F(0)
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然后我们来看累次积分，然后分段
∫<-1,1>∫<-1,1> xy[F((xy)^2)-F(0)]dxdy
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先只看dx部分
∫<-1,1> xy[F((xy)^2)-F(0)]dx
=∫<-1,0> xy[F((xy)^2)-F(0)]dx+∫<0,1> xy[F((xy)^2)-F(0)]dx
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对第一个式子做变量代换x'=-x
x=-x',dx=-dx'
-1-x的下限变为1，上限变为0
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得到
=∫<1,0> (-x')y[F((-x'y)^2)-F(0)](-dx')+∫<0,1> xy[F((xy)^2)-F(0)]dx
=∫<1,0> x'y[F((x'y)^2)-F(0)]dx'+∫<0,1> xy[F((xy)^2)-F(0)]dx
第一个积分和第二个积分完全一样，只是上下限相反，x还是x'都不影响积分结果，所以抵消=0
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所以如果你发现被积函数有类似的对称性
就可以知道积分为0
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不明白可以追问追问依照这个结论 这道题的话 x或者y的只要有一个被积区间是对称的，那么就为0，，，

那就是说 双重积分的被积区域关于 x轴或者y轴对称 且相应的被积函数为x或者y的奇函数 结果就为0，，，只满足一个对称就行追答你说的对的，主要是你如果看无穷加和（积分的逼近）就发现（如果是按x对称）
那么Δx f(xi,y)必然有一项Δx f(-xi,y)
然后两项抵消了

但是建议还是重新推一遍保险起见