算术平均数、标准差及标准差系数计算与实际意义

算术平均数、标准差及标准差系数计算与实际意义

平均数有算术平均数和几何平均数之分。算术平均数又有简单算术平均数和加权算术平均数。在实际应用中，若不作特别说明，平均数指的是简单算术平均数。本节介绍简单算术平均数和加权算术平均数。

一、简单算术平均数

　　在统计学中，算术平均数是一个最基本的特征量数，它对学习统计学中其他内容具有重要的基础作用。同时，简单算术平均数本身也有丰富的学术内涵和广泛的应用范围。
　　一批数据的简单算术平均数，指的是简单地把这批数据总和除以数据总次数所得的商数。
　　若用带有下标的大写英文字母 表示一批观测数据，n表示数据的总个数（总次数），再用符号表示这批数据的简单算术平均数（读X 杠或X 罢），则简单算术平均数的一般计算公式为：

　　　

　　式中：“”是连加求和符号，读作Sigma(西格玛)。下方和上方的字母符号,分别表示计算数据连加和时的数据起点与终点,即数据连加界限。在明确了进行连加的所有数据后，上下方符号可以省略。下方符号 =1，表示从第一个数据X1 开始连加；随着 下标 逐步增加，数据不断连加进去，即上方的符号n ，表示数据一直连加到下标为n的那个数据为止，即。下面举几个例子加以说明：
　　例1.设有一组观测数据为70，64，78，69，72；求这组数据的平均数。
　　据公式（2-1），不难知道这组数据的平均数为：

　　

　　例2.试根据表1-1中有关52名学生拼写测验分数观测值， 求他们的测验平均分数。
　　从表1-1中所列具体分数，按公式（2-1），同样可计算出这批学生的拼写测验平均分数（在实际计算时，由于数据较多，故可利用计算器进行计算），其结果（保留1位小数）为：

　　

　　[例3]　已知8个数据分别是：请确定下列各值。

　　（1）的值。

　　（2）的值。

　　首先，求平均数 的值，可知：

　　

　　　　=

　　其次，注意到题目待求式中连加和符号的上下方所指定的界限，可知：

　　

　　　　　=

　　简单算术平均数具有反应灵敏、 确定严密、 简明易懂、概括直观、计算简便，并能作进一步的代数运算等优点，是应用最普遍的一种特征量数。因此，在大多数情形下，人们喜欢使用平均数这一指标来代表一批数据或用它来反映大量事物的整体水平。例如，用平均分反映一个班组学生的某项能力测验结果；用平均分来描述与代表某一年龄段儿童在特定标准化测验上的通常表现；用平均受教育年限来反映某国家或某地区特定年龄段所有人的教育程度；用平均分来集中概括一些竞赛场合下各位评委对参赛选手进行评分的总结果等等。
　　但是，简单算术平均数需要每一个数据都加入运算，因此，在数据有个别缺失的情况下，则无法准确计算。特别是，简单算术平均数易受极端数据的影响，一旦在数据分布中出现个别极端数据，就会对平均数产生较大影响，从而使人对平均数产生怀疑。这也就是为什么在许多竞赛场合下，对评委亮分后的成绩分数，要去掉一个最高分和一个最低分，而后再计算平均数。此外，在一些特别情况下，由于各个数据的重要性不同，因此，直接把数据简单相加以确定平均数的方法，不能充分考虑到各个数据的重要性程度。为此，需要加权计算。

二、加权算术平均数

1.加权和概念与计算

　　具体考虑到各个数据的重要性（即权重）后再相加求和，就是加权和。
　　[例3]　学生的成绩记录由三部分组成，即平时练习成绩、期中检测成绩、期末考试成绩。 假定学校规定这三部分成绩一律按百分制考评，同时三部分成绩的权重分别是0.20，0.30和0.50，那么，对学生成绩综合考评公式是再假定某学生平时作业练习成绩，期中检测，成绩分，期末考试成绩分；则该学生的终评成绩为：

　　 （分）

　　进一步地推广，若用分别表示观测数据的权重，那么，这批数据的加权和：

　　加权和== (2-2)

2.加权算术平均数

　　加权算术平均数，简称为加权平均数，这是一组数据的加权和除以这组数据权重和的商，加权平均数的计算公式如下：

　　加权算术平均数

　　　　　　　　　 　　　　

　　式中：用表示w表示加权算术平均数；符号表示所有权重之和。
　　[例4]　教学评估中的分数合成。利用一张教学水平评估表,从多个方面去评价教师的整体教学水平,假如量化分数满分值为100分。今规定教学评估由学生评估意见、个人评估意见和同行教师评估意见三部分加权评定，并规定这三部分的权重分别是3：2：5,请确定教学水平综合评定计算公式。再假定，某位教师接受评估时，学生评估结果是88分，该教师个人自评是94分，同行专家评估结果是84分，则该教师教学水平最终评估分数是几分？
　　[分析解答]　显然，这里的问题在实质上也是考虑成绩的加权平均数。设来自学生评估的分数为X₁, 个人评估的分数记为X₂，同行专家评估的分数记为X₃，且根据三部分权重按3：2：5分配,则不妨把三部分的权重记为：

　　

　　而总评公式实质上是求加权算术平均数，据公式（2-3）可得：

　　

　　于是，该教师的最终分数是：

　　 （分）

　　权重的确定方法多种多样。在上述例子中的权重是根据经验、人为地给予适当确定，在其他场合下，也可能根据数据分布的特定结构加以确定。下面再举一例加以说明。
　　[例5]　多组数据平均数的合成。 假如某校甲班40名学生的英语水平测验平均成绩为85分，乙班60名学生在同一测验下的平均成绩为75分，试问全体同学在这次英语测验中的总平均成绩为多少分？
　　[分析解答]　这里有两组数据，其平均数都是已知的。现在要把两组数据，即题目中两个班级数据看成一个整体,求他们的总平均数。这种情况下，一般不能简单地把甲班的平均分（85分）加上乙班的平均分（75分）再除以2,得到80分的结果，并把80分作为他们两班的总平均数。除非两班级人数相同，否则这样做是错误的。这是因为，在合成总平均数时，需要考虑班级的人数。正确的方法是，从上面公式（2-3）出发，把两个班级的人数（次数）当作权重,而后对两个平均数进行加权计算，其结果是：

　　 （分）

　　从已知若干组数据的个数及平均数，求全体数据的总平均数，这种运算在教学工作中经常遇到。例如，同时在几所不同水平的学校里进行某一教改实验，一方面，可能需要把几所学校的测试结果（平均数等）进行综合；另一方面，又可能要把不同时间下同一测验进行多次重测的数据合成为总平均数。又如,在高考命题研究和分数统计中，针对某科目（如语文科）需要确定当年全国数百万考生的总平均分。鉴于高考是全国统考但统计评分却是分省进行的现实，因此，国家教育部有关部门需要从各省上报的考生人数及某科高考平均分出发，按照加权计算的办法,确定出总平均数。这实质上是求加权算术平均数。确切地讲，这是多组平均数的合成问题,是以各组平均数为基本数据,以各组数据的个数为权重,仿照公式（2-3）的结构，计算加权算术平均数。若适当改变符号,公式（2-3）在这里可能为另一种表达形式：

　　式中：为总平均数（加权算术平均数）；

　　为各组数据的个数，共有k组数据；

　　 ，，…，k是各组数据的平均数。

　　[例6]　有3个学校英语测验分数如表2-1，求这3个学校英语测验总平均成绩。

表2-1 3校英语测验分数统计表

校 别 n A 72.6 32 B 80.2 40 C 75 36

　　根据公式(2-4)求加权平均数，即总平均成绩：

　　 （分）