抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两个相异的动点A,B满足OA垂直OB，求三角形AOB的面积最小值
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解决时间 2021-07-20 18:27
- 提问者网友：niaiwoma
- 2021-07-20 14:51
抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两个相异的动点A,B满足OA垂直OB，求三角形AOB的面积最小值
最佳答案
- 五星知识达人网友：老鼠爱大米
- 2021-07-20 16:09
不妨设A在y轴右边，OA斜率为k(k>0),A(k,k^2),
则B在y轴左边，OB斜率为-1/k,B(-1/k,1/k^2),
设C(k,0),D(-1/k,0),ABDC是直角梯形，
S(AOB)=S(ABDC)-S(AOC)-S(BOD)
=(k+1/k)(k^2+1/k^2)/2-k*k^2/2-(1/k)*(1/k^2)/2
=(k+1/k)/2
≥√(k*1/k)=1,
等号成立当且仅当k=1/k=1.
三角形AOB的面积存在最小值,当k=1时，A(1,1),B(-1,1),三角形AOB的面积最小，最小值等于1
则B在y轴左边，OB斜率为-1/k,B(-1/k,1/k^2),
设C(k,0),D(-1/k,0),ABDC是直角梯形，
S(AOB)=S(ABDC)-S(AOC)-S(BOD)
=(k+1/k)(k^2+1/k^2)/2-k*k^2/2-(1/k)*(1/k^2)/2
=(k+1/k)/2
≥√(k*1/k)=1,
等号成立当且仅当k=1/k=1.
三角形AOB的面积存在最小值,当k=1时，A(1,1),B(-1,1),三角形AOB的面积最小，最小值等于1
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