用单调性定义证明函数f（x）=x+1/X的（0，1）上是减函数，在【1，正无穷大）是增
答案:1 悬赏:30 手机版
解决时间 2021-02-15 01:01
- 提问者网友：听门外雪花风
- 2021-02-14 21:14
用单调性定义证明函数f（x）=x+1/X的（0，1）上是减函数，在【1，正无穷大）是增
最佳答案
- 五星知识达人网友：怙棘
- 2021-02-14 22:45
解：
令0＜x1＜x2＜1
f(x2) - f(x1) =(x2+1/x2) -(x1+1/x1)
=(x2-x1) + (1/x2 -1/x1)
=(x2-x1) + (x1-x2)/x1x2
=(x2-x1)(1-1/x1x2)
1）若0＜x1＜x2＜1，则0＜x1x2＜1，
即1/x1x2＞1，
即1-1/x1x2＜0，
即(x2-x1)(1-1/x1x2）＜0
即f(x2) - f(x1)＜0，即f(x2) ＜ f(x1)
所以，此时为减函数
2）若1≤x1＜x2＜+∞，则x1x2＞1
即1/x1x2＜1
即1-1/x1x2＞0
即(x2-x1)(1-1/x1x2）＞0
即f(x2) - f(x1)＞0，即f(x2) ＞ f(x1）
所以，此时为增函数
令0＜x1＜x2＜1
f(x2) - f(x1) =(x2+1/x2) -(x1+1/x1)
=(x2-x1) + (1/x2 -1/x1)
=(x2-x1) + (x1-x2)/x1x2
=(x2-x1)(1-1/x1x2)
1）若0＜x1＜x2＜1，则0＜x1x2＜1，
即1/x1x2＞1，
即1-1/x1x2＜0，
即(x2-x1)(1-1/x1x2）＜0
即f(x2) - f(x1)＜0，即f(x2) ＜ f(x1)
所以，此时为减函数
2）若1≤x1＜x2＜+∞，则x1x2＞1
即1/x1x2＜1
即1-1/x1x2＞0
即(x2-x1)(1-1/x1x2）＞0
即f(x2) - f(x1)＞0，即f(x2) ＞ f(x1）
所以，此时为增函数
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