大一高数题

大一高数题

通过上极限来判断有点复杂，这里通过放缩+裂项的方法来证明。既然数列xn单调上升而且有上界，那么必定收敛于某个实数A。另外，由于xn是正项数列，因此A>0.那么在n充分大的时候，必然满足xn>A/2，即存在自然数N，使得对于任意的n>N，都有xn>A/2. 记原级数的前N项和为SN，既然N是已知的数，因此SN也是一个已知的、有限的数，所以决定原级数的收敛性的是N后面的项。对于n>N，因为xn>A/2，所以1-x(n)/x(n+1)=[x(n+1)-x(n)]/x(n+1)(A/2) =2[x(n+1)-x(n)]/A，对于所有n>N的项进行求和，结果即为S，得到 S<Σ2[x(n+1)-x(n)]/A=2[x(∞)-x(N+1)]/A=2[A-x(N+1)]/A也是有限数。因此原级数收敛。