(n+1)的m次方与(m+1)的n次方的比较

急～～～～～～各位数学巨匠帮帮忙啊！！！

m、n应该为自然数吧...
两边分别取对数：
mln（n+1）与nln（m+1）进行比较
两式相除与1进行比较：
(mln（n+1）)/(nln（m+1）)与1进行比较
当n、m>=3时，
等价于m/ln（m+1）与n/ln(n+1)进行比较
考虑连续函数y=(x-1)/lnx的单调性，求导可得：
dy/dx=(lnx-1+1/x)/(lnx)^2
故当x>=3时，上式大于0，即y=(x-1)/lnx单调递增
从而，若m>n,(n+1)^m>(m+1)^n;
m<n,(n+1)^m<(m+1)^n;
m=n,(n+1)^m=(m+1)^n。
x<=2时,即m取2，n取1时，（1+1）^2>(1+2)^1也成立
综上，
对于自然数m、n，m>n,(n+1)^m>(m+1)^n;
m<n,(n+1)^m<(m+1)^n;
m=n,(n+1)^m=(m+1)^n。

m大于n (n+1)大于(m+1) m小于n (n+1)小于(m+1) m等于n (n+1)等于(m+1)

我向你提供一个较简单的方法(m、n应为自然数): 不妨设m<n则（n+1)^m=(n+1)^m*1^(n-m)小于等于[(mn+m+n-m)/n]^n=(m+1)^n得证．（根据平均值不等式） 希望我的回答对您有所帮助

   m^5 + n^5

= m^3 * m^2 + n^3 * n^2

= m^3 * (m+1) + n^3 * (n+1)

= m^4 + m^3 + n^4 + n^3

= (m+1)^2 + m(m+1) + (n+1)^2 + n(n+1)

= m^2 + 2m + 1 + m^2 + m + n^2 + 2n + 1 + n^2 + n

= 2m^2 + 3m + 1 + 2n^2 + 3n + 1

= 2(m+1) + 3m + 1 + 2(n+1) + 3n + 1

= 2m + 2 + 3m + 1 + 2n + 2 + 3n + 1

= 5m + 3 + 5n + 3

= 5m + 5n + 6

= 5(m+n) + 6

因为 m^2 = m + 1,  n^2 = n + 1, 则m, n为方程 x^2 = x + 1的两个根，则有韦达定理，

两根之和 m + n = - b/a = 1,

所以 5(m+n) + 6 = 5 * 1 + 6 = 11.

所以

   m^5 + n^5

= 5(m+n) + 6

= 5 * 1 + 6

= 11

取对数 mln(n+1)与nln(m+1)比较大小 mln(n+1)－nln(m+1) =mn*[1/n * ln(n+1) - 1/m * ln(m+1)] 对函数f(x)=1/x * ln(x+1) 求导得f'(x)=1/x² * [x/(x+1) - ln(x+1)] 再分别对g(x)=x/(1+x) 和h(x)=ln(x+1)求导 得g'(x)=1/(1+x)² ,h'(x)=1/(1+x) 因为x>0时1/(1+x) <1 故g'(x)<h'(x) 所以在x>0时，h(x)比g(x)增长的更快 而h(0)=g(0)=0 故x>0时,h(x)>g(x) 所以x>0时,f'(x)<0 说明f(x)在x>0区间上是单调减函数 故m>n时,f(m)<f(n) 即1/m * ln(m+1) < 1/n * ln(n+1) 所以mln(n+1)－nln(m+1) ＝mn*[1/n * ln(n+1) - 1/m * ln(m+1)] >0 mln(n+1)>nln(m+1) 由指数函数的单调增性质知 (n+1)^m>(m+1)^n 同理可得 n>m时，(n+1)^m<(m+1)^n n=m时，(n+1)^m=(m+1)^n