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请问蝴蝶定理怎么证？

过圆心O作AD与B的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。
　　∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD，BT=1/2BC
　　∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
　　∴△AMS∽△CMT
　　∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O，S，X，M四点共圆
同理，O，T，Y，M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ，
　　∵OM⊥PQ
∴XM=YM
或者用三角函数

（Steven面积法）
已知：AB为⊙O一弦，过AB中点M，任意引两弦CD，EF，连结DE，CF， 分别交AB于P，Q，
求证：MP=MQ。
证明：设∠EMP=α，∠DMP=β，ΔEPM，ΔCMQ，ΔDMP，ΔFMQ的面积分别为S1，S2，S3，S4。
由（S1/S2）*（S2/S3）*（S3/S4）*（S4/S1）=1
得（1/2EP*EMsinE/1/2CM*CQsinC）*（1/2CM*MQsinβ/1/2PM*MDsinβ）*（1/2PD*DMsinD/1/2FM*FQsinF）*（1/2MQ*MFsinα/1/2ME*MPsinα）=1
即EP*PD*（MQ）^2=CQ*QF*(MP)^2
又由相交弦定理,EP*PD=AP*PB=(MA-MP)*(MB+MP)=MA^2-MP^2
同理,CQ*QF=MA^2-MQ^2
则有(MA^2-MQ^2)*（MQ）^2=(MA^2-MQ^2)*(MP)^2
故MP=MQ

以上两种都可以

http://baike.baidu.com/view/64379.htm 蝴蝶定理最简单的证法

设弦AB的中点为M，过M 作弦CD，EF，连EC，DF交AB于G，H，则GM=GF。这是蝴蝶定理，下面证明。 ※先给出一个关于面积的定理： △ABC的面积=（1/2）×AB×AC×sinA 证明：设△EGM、△DHM、△MHF、△MCG的面积分别为S1、S2、S3、S4，则 S1=(1/2)ME×MGsin∠EMG＝（1/2）EG×EMsin∠E S2=(1/2)MH×MDsin∠DMH＝（1/2）MD×DBsin∠D S3=(1/2)MH×MFsin∠HMF＝（1/2）BF×FMsin∠F S4=(1/2)MG×MCsin∠GMC＝（1/2）CM×CGsin∠C 其中从∠EMG=∠HMF,∠DMH=∠GMC,∠E=∠D,∠F=∠C ∴sin∠EMG=sin∠HMF，sin∠DMH=sin∠GMC , sin∠E = sin∠D, sin∠F = sin∠C ∵（S1/S2）×（S2/S3）×（S3/S4）×（S4/S1）=1 ∴｛[(1/2)ME×MGsin∠EMG]/[(1/2)MH×MDsin∠DMH]｝× ｛[（1/2）MD×DBsin∠D]/[(1/2)MH×MFsin∠HMF]｝× ｛[（1/2）BF×FMsin∠F]/[（1/2）CM×CGsin∠C]｝× ｛[(1/2)MG×MCsin∠GMC]/[（1/2）EG×EMsin∠E]｝ ＝1 整理后： （MG的平方/MH的平方）×（DB×BF）/（EG×CG）=1…① 令(1/2)AB=a,MG=m,MH=n.由相交弦定理： DB×BF=BH×AH=(a-n)(a+n),EG×CG=(a-m)(a+m)，代入① 并整理得：(am)的平方=(an)的平方,∵a≠0，∴m=n， 即，MG=MH

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 　　出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 　　这里介绍一种较为简便的初等数学证法。 　　证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。 　　∵△AMD∽△CMB 　　∴AM/CM=AD/BC 　　∵SD=1/2AD，BT=1/2BC 　　∴AM/CM=AS/CT 　　又∵∠A=∠C 　　∴△AMS∽△CMT 　　∴∠MSX=∠MTY 　　∵∠OMX=∠OSX=90° 　　∴∠OMX+∠OSX=180° 　　∴O，S，X，M四点共圆 　　同理，O，T，Y，M四点共圆 　　∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX 　　∴∠MOX=∠MOY ， 　　∵OM⊥PQ 　　∴XM=YM 　　这个定理在椭圆中也成立，如图 　　１，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。 　　（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； 　　（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y４＞０）。 　　求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4) 　　（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。 　　求证： | OP | = | OQ |。 　　（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形） 　　2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下： 　　（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。 　　（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1 　　焦点坐标为 　　（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=kx代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2， 　　整理，得 　　(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0 　　根据韦达定理，得 　　x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)， 　　所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ① 　　将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得 　　x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ② 　　由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4) 　　所以结论成立。 　　（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。 　　由C，P，H共线，得 　　(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4 　　解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 　　由D，Q，G共线，同理可得 　　q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3) 　　由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得： 　　x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4) 　　即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 　　所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。