已知数列{an}满足an=3n-1（n∈N*），是否存在等比数列{bn}使得an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切的n都成立？并证明你的结论．
答案:2 悬赏:30 手机版
解决时间 2021-01-24 13:21
- 提问者网友：萌卜娃娃
- 2021-01-23 18:37
已知数列{an}满足an=3n-1（n∈N*），是否存在等比数列{bn}使得an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切的n都成立？并证明你的结论．
最佳答案
- 五星知识达人网友：零点过十分
- 2021-01-23 18:49
解：当n=1时，a1=b1=2
当n=2时，a2=b1C21+b2C22=8?b2=4
当n=3时，a3=b1C31+b2C32+b3C33=26?b3=8
从而猜想bn=2n，现在证明：（4分）
∵（1+2）n=Cn0+Cn1?21+Cn2?22+…+Cnn?2n而Cn0=1
∴3n-1=Cn1?21+Cn2?22+…+Cnn?2n，
故存在等比数列{bn}（bn=2n）使得an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切的n都成立．解析分析：可令n=1，2，3，求得b1，b2，b3，由此猜想bn，构造函数f（x）=（1+x）n，（n∈N*），令x=2，由二项式定理展开即可证明结论．点评：本题考查归纳推理，等比数列等基础知识，难点在于对组合数性质的转化与应用，属于中档题．
当n=2时，a2=b1C21+b2C22=8?b2=4
当n=3时，a3=b1C31+b2C32+b3C33=26?b3=8
从而猜想bn=2n，现在证明：（4分）
∵（1+2）n=Cn0+Cn1?21+Cn2?22+…+Cnn?2n而Cn0=1
∴3n-1=Cn1?21+Cn2?22+…+Cnn?2n，
故存在等比数列{bn}（bn=2n）使得an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切的n都成立．解析分析：可令n=1，2，3，求得b1，b2，b3，由此猜想bn，构造函数f（x）=（1+x）n，（n∈N*），令x=2，由二项式定理展开即可证明结论．点评：本题考查归纳推理，等比数列等基础知识，难点在于对组合数性质的转化与应用，属于中档题．
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- 1楼网友：行雁书
- 2021-01-23 20:13
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