曲线积分(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz

L为x^2+y^2+z^2=a^2与平面x+y+z=0的交线从z轴正向看去L去逆时针方向谢谢!

用斯托克斯公式
原式=∫∫(S)[(-2dxdy)+(-2dydz)+(-2dzdx)] 根据右手法则被积曲面S法向量朝上
曲面S方程为x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0满足轮换对称性
原式=-∫∫(S)6dxdy=-6∫∫(D)dxdy,(设被积曲面S在平面xOy上的投影为D)
即要求D面积的-6倍(注意S的法向量向上，而D是个椭圆)

考察曲面S的面积，x^2+y^2+z^2=a^2，该球的圆心在(0,0,0)点，平面x+y+z=0过(0,0,0)点，易知交线L是个圆心在(0,0,0)半径为a的圆形，故面积为(πa^2)
同时又有:S的面积=∫∫(S)dS=∫∫(D)√(1+(z'(x))^2+(z'(y))^2)dD
由平面方程x+y+z=0易得z'(x)=z'(y)=-1
∫∫(S)dS=∫∫(D)√(1+(-1)^2+(-1)^2)dD=(√3)∫∫(D)dD
∫∫(D)dD=((√3)/3)∫∫(S)dS=((√3)/3)*πa^2
原式=-6∫∫(D)dxdy=-(2√3)πa^2

过程很繁，不知道算对没有

记∑为γ所围成的曲面，其外法向量n=(1/√3,1/√3,1/√3) ∮(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz =∫∫(ə(x-y)/əy-ə(z-x)/əz)dydz+(ə(y-z)/əz-ə(x-y)/əx)dzdx+(ə(z-x)/əx-ə(y-z)/əy)dxdy =∫∫-2dydz-2dzdx-2dxdy =-2∫∫dydz+dzdx+dxdy，这里f=(1，1，1) ∴上式=-2∫(f·n)dσ=-2∫√3dσ =-2√3∫dσ=-2√3σ(∑) ∑的边长为√2a，∴∑的面积σ(∑)=√3a²/2 ∴上式=-2√3·√3a²/2 =-3a²