在三角形ABC中，AB等于AC，P为BC边上任一点，请你证出AB² -AP²=PB×PC.

请详细点

过点A做BC的高
（1）若P在BD上：
∵AB=AC
∴BD=CD,AD⊥BC(等腰三角形三线合一)
∴AB²=AD²+BD²,AP²=AD²+DP²
∴AB²-AP²=BD²-DP²=(BD+DP)(BD-DP)=(CD+DP)(BD-DP)=CP×BP
（2）若P在CD上
∵AB=AC
∴BD=CD,AD⊥BC(等腰三角形三线合一)
∴AB²=AD²+BD²,AP²=AD²+DP²

又∵BD等于CD
AB²-AP²=BD²-DP²=(BD+DP)(BD-DP)=(BD+DP)(CD-DP)=BP×CP
根据以上推理可得：AB²-AP²=BP×CP

设AB=c AC=b BP=X1 PC=X2 AP=X3 c^2=X1^2+X3^2-2X1*X3*COSAPB b^2=X2^2+X3^2+2X2*X3*COSAPB (角APB+角APC=180度 COSAPB=负COSAPC） 原题左边 AB^2*PC+AC^2*PB =c^2*X2+b^2*X1 =(X1^2+X3^2-2X1X3COSAPB)*X2+(X2^2+X3^2+2X2X3COSAPB)*X1 =(X1^2+X3^2)*X2+(X2^2+X3^2)*X1 =X1^2*X2+X2*X3^2+X1*X2^2+X1*X3^2 =(X1+X2)(X3^2+X1*X2) =BC*（AP^2+BP*PC) =右边

取BC中点D,连AD

1)若P在BD上

∵AB=AC

∴BD=CD,AD⊥BC(等腰三角形三线合一)

∴AB²=AD²+BD²,AP²=AD²+DP²

∴AB²-AP²=BD²-DP²=(BD+DP)(BD-DP)=(CD+DP)(BD-DP)=CP×BP

2)若P在CD上

∵AB=AC

∴BD=CD,AD⊥BC(等腰三角形三线合一)

∴AB²=AD²+BD²,AP²=AD²+DP²

∴AB²-AP²=BD²-DP²=(BD+DP)(BD-DP)=(BD+DP)(CD-DP)=BP×CP

综上,AB²-AP²=BP×CP