设函数f（x）=x3-x2-3，g（x）=ax+xlnx，其中a∈R．（1）若存在x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）-f（x2）≥M

设函数f（x）=x3-x2-3，g（x）=ax+xlnx，其中a∈R．（1）若存在x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）-f（x2）≥M，求整数M的最大值；（2）若对任意的s，t∈[12，2]，都有f（t）≤g（s），求a的取值范围．

（1）f′(x)＝3x(x?
2
3 )，x∈[0，2]，令f'（x）=0得x1＝0，x2＝
2
3 ，…（2分）
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下：

x 0 (0，
2
3 )
2
3 (
2
3 ，2) 2
f'（x） - 0 +
f（x） -3 单调递减 极小值 单调递增 1 可得，[f（x）]max=1，[f(x)]min＝f(
2
3 )＝?
85
27 ．…（5分）
要使存在x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）-f（x2）≥M，只需M≤[f(x)]max?[f(x)]min＝
112
27 ，故整数M的最大值为4．…（7分）
（2）由（1）知，在[
1
2 ，2]上，[f（x）]max=f（2）=1，要满足对任意的s，t∈[
1
2 ，2]，都有f（t）≤g（s），只需g（x）≥1在[
1
2 ，2]上恒成立，…（9分）
即
a
x +xlnx≥1在[
1
2 ，2]上恒成立，分离参数可得：a≥x-x2lnx，
令h（x）=x-x2lnx，h'（x）=1-x-2xlnx，可知，当x∈[
1
2 ，1)，h′(x)＞0，h(x)单调递增，当x∈（1，2]，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…（12分）
所以h（x）在x=1处取得最大值h（1）=1，
所以a的取值范围是a≥1．…（13分）

由根与系数的关系，得： x1+x2+x3=0 |x1 x2 x3| 将第2，3行都加到第1行：|x1+x2+x3 x1+x2+x3 x1+x2+x3| |x3 x1 x2|= |x3 x1 x2 |=0 |x2 x3 x1| |x2 x3 x1 | 即行列式=0