求 三角形的面积的所有求法

求 三角形的面积的所有求法

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设s=(a+b+c)/2 则s-a=(-a+b+c)/2, s-b=(a-b+c)/2, s-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 所以，三角型ABC面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 证明完毕

再介绍两个一个叫海伦公式a,b,c为边长，设p=(a+b+c)/2 周长的一半面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c)另一个A=(1/2)absinC两边与这两边夹角正弦乘积的一半。

S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] [三边长分别为a,b,c]而公式里的s： s=(a+b+c)/2 这就是海伦公式（大学学）还有就是正弦定理（高中学）S=absinC/2 [已知两边分别为a,b,另一边所对的角为C]最后就是：底×高/2 [原始公式]

海伦公式(Heron's formula)，又译希伦公式、海龙公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式， 利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据 Morris Kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 设p是周长的一半，就是讲p=(a+b+c)/2,则三角形的面积为：s=根号下〔p*(p-a)*(p-b)*(p-c)〕 此外高中有个正弦定理，推出一个面积公式：S=1/2ab sinC＝1/2bc sinA=1/2 ac sin B还有一个特殊的S=r*(a+b+c)/2其中r为△ABC的内切圆圆心。赙赠一些其他不常用的公式：