高一数学题:告诉你一个函数的值域，怎么求这个函数的最大值和最小值

高一数学题:告诉你一个函数的值域，怎么求这个函数的最大值和最小值

定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同和灵活性。在函数的三要素中，
确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数
解：∵x0 10x∴ y1x的值域。
显然函数的值域是：(,0)(0,)
例2. 求函数y3x的值域。
解：∵x0
x0,3x3
故函数的值域是：[,3]
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2 例3. 求函数yx2x5,x[1,2]的值域。
2y(x1)4 解：将函数配方得：
∵x[1,2]
由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin4，当x1时，ymax8
故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
1xx2
y1x2的值域。 例4. 求函数
解：原函数化为关于x的一元二次方程
(y1)x2(y1)x0
（1）当y1时，xR
(1)24(y1)(y1)0
1/9页

13y2 解得：2
131,（2）当y=1时，x0，而22
132,2 故函数的值域为
例5. 求函数yxx(2x)的值域。
22解：两边平方整理得：2x2(y1)xy0（1）
∵xR
24(y1)8y0 ∴
解得：12y12
但此时的函数的定义域由x(2x)0，得0x2
由0，仅保证关于x的方程：2x2(y1)xy0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0求出的范围可能比y的实际
132,2。 范围大，故不能确定此函数的值域为22
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵0x2
yxx(2x)0
ymin0,y12代入方程（1）
解得：x122242
2[0,2]
22242x12即当时，
原函数的值域为：[0,12]
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x4
例6. 求函数5x6值域。
x
解：由原函数式可得：
则其反函数为：y46y5y3 46y3x5x3，其定义域为：5
2/9页

3,5 故所求函数的值域为：
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
ex1yx 例7. 求函数e1的值域。
ex
解：由原函数式可得：
x∵e0 y1y1
y10y1∴
解得：1y1
故所求函数的值域为(1,1)
cosx
例8. 求函数sinx3的值域。
解：由原函数式可得：ysinxcosx3y，可化为： y
y21sinx(x)3y sinx(x)3y
y21 即
∵xR
3y
y1
2∴sinx(x)[1,1] 11即解得： 22y44
2,44 故函数的值域为
6. 函数单调性法
例9. 求函数y2
解：令y12x5log3x1(2x10)的值域。 x5,y2log3x1
则y1,y2在[2，10]上都是增函数
所以yy1y2在[2，10]上是增函数
当x=2时，ymin23log3211
8
3/9页

5当x=10时，ymax2log333
18,33 故所求函数的值域为：
例10. 求函数yx1x1的值域。
y2
x1x1 解：原函数可化为：
令y1x1,y2x1，显然y1,y2在[1,]上为无上界的增函数
所以yy1，y2在[1,]上也为无上界的增函数
2
所以当x=1时，yy1y2有最小值2，原函数有最大值2
显然y0，故原函数的值域为(0,2] 2
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

根据对称抽=-b/2a

本函数的最小值应该是在x取-1/12时能取到

所以将x=-1/12代入 得到f（x）=53/24

当x=1时，函数在区间内最大 =9