设x1,x2,x3是方程x^3-x+1=0的三个根,则x1^5+x2^5+x3^5的值为
答案:4 悬赏:10 手机版
解决时间 2021-01-04 15:32
- 提问者网友:niaiwoma
- 2021-01-04 01:05
设x1,x2,x3是方程x^3-x+1=0的三个根,则x1^5+x2^5+x3^5的值为
最佳答案
- 五星知识达人网友:轻熟杀无赦
- 2021-01-10 02:31
-5
由韦达定理:x1+x2+x3=0,x1x2+x1x3+x2x3=-1,x1x2x3=-1
又x^3-x+1=0,所以x^5=x^2x^3=x^2(x-1)=x^3-x^2=x-1-x^2
所以x1^5+x2^5+x3^5=x1+x2+x3-x1^2-x2^2-x3^2-3
=0-((x1+x2+x3)^2-2(x1x2+x1x3+x2x3))-3
=0-(0+2)-3
=-5
(2012全国高中数学联赛湖北省预赛试题(高一)第8题)
由韦达定理:x1+x2+x3=0,x1x2+x1x3+x2x3=-1,x1x2x3=-1
又x^3-x+1=0,所以x^5=x^2x^3=x^2(x-1)=x^3-x^2=x-1-x^2
所以x1^5+x2^5+x3^5=x1+x2+x3-x1^2-x2^2-x3^2-3
=0-((x1+x2+x3)^2-2(x1x2+x1x3+x2x3))-3
=0-(0+2)-3
=-5
(2012全国高中数学联赛湖北省预赛试题(高一)第8题)
全部回答
- 1楼网友:山君与见山
- 2021-01-10 04:17
-2
- 2楼网友:佘樂
- 2021-01-10 04:08
x1,x2,x3是方程x³+px+q=0的三个根。
证明:x1+x2+x3=0
解:
∵ x1,x2,x3是方程x³+px+q=0的三个根
∴ (x-x1)(x-x2)(x-x3)=0
展开,
[x²-(x1+x2)x+x1x2](x-x3)=0
x³-(x1+x2+x3)x²+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3=0
与x³+px+q=0对比,
由恒等多项式定理,可知:
-(x1+x2+x3)=0
∴ x1+x2+x3=0
- 3楼网友:想偏头吻你
- 2021-01-10 02:53
x1,x2,x3是x^3-x+1=0的根,则适合x^3=x-1;
又依据高次方程根与系数关系:x1+x2+x3=0,x1x2+x2x3+x3x1=-1,x1x2x3=-1;
x1^2+x2^2+x3^2=(x1+x2+x3)^2-2(x1x2+x2x3+x3x1)=0-2*1=-2;
x1^5+x2^5+x3^5
=(x1-1)x1^2+(x2-1)x2^2+(x2-1)x3^2
=x1^3+x2^3+x3^3-(x1^2+x2^2+x3^2)
=x1^3+x2^3+x3^3-3x1x2x3-(x1^2+x2^2+x3^2)+3x1x2x3
=(x1+x2+x3)(x1^2+x2^2+x3^2-x1x2-x2x3-x3x3)--(x1^2+x2^2+x3^2)+3x1x2x3
=1-3
=-2
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