四面体的一条棱长为x，余下的棱长均是1。

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解决时间 2021-03-15 17:26

提问者网友：溺爱和你
2021-03-15 00:40

（1）把四面体的体积V表示为x的函数f(x)
(2) 求f(x)的值域
（3）求f(x)的单调区间

最佳答案

五星知识达人网友：时间的尘埃
2021-03-15 01:05

(1)设四面体S-ABC，△ABC和△PAB为边长为1的正三角形，
PC=x,固定三角形ABC，三角形PAB绕AB旋转，则x随之变化，
取AB中点M，连结PM，CM，
则PM=CM=√3/2，
在平面PMC上作MN⊥PC，
MN=√（3/4-x^2/4)=√(3-x^2)/2,
作PH⊥MC，则PH⊥平面ABC，
PH*MC=MN*PC，
PH=[x√(9-3x^2)]/3,
S△ABC=√3/4，
∴VP-ABC=PH*S△ABC/3=[x√(3-x^2)]/12。
0 (2)因底三角形ABC固定不动，体积大小与棱锥高有关，当平面PAB⊥平面ABC时高最大，PH=√3/2，
V(max)=(√3/4)*(√3/2)/3=1/8,
故值域：0 (3)0 √3/2≤x<√3时为单调减函数。

全部回答

1楼网友：低血压的长颈鹿
2021-03-15 01:59

四面体abcd，ab=ac=ad=bc=bd=1，cd=x ==> 0 < x < 根号3 
e为cd中点。ae垂直于cd，be垂直于cd 
cd垂直于平面abe。 
由直角三角形ace、等腰三角形abe 
得：三角形abe面积 = [根号(3 -x^2)]/4 
体积v = 2*直三角锥c-abe的体积 
= 2*(1/3)*cd*三角形abe面积 
= (1/12)*根号{-(x^2 -3/2)^2 +9/4] 
因此： 
增区间：(0,根号6/2] 
减区间：(根号6/2,根号3)

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