求下列极限 lim（x→0）((e^x+e^2x+.+e^nx)/n)^(1/x)
答案:2 悬赏:60 手机版
解决时间 2021-02-23 13:02
- 提问者网友：浪荡绅士
- 2021-02-22 14:51
求下列极限 lim（x→0）((e^x+e^2x+.+e^nx)/n)^(1/x)
最佳答案
- 五星知识达人网友：逃夭
- 2021-02-22 15:35
楼上的答案是对的,解答过程很玄乎。
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全部回答
- 1楼网友：笑迎怀羞
- 2021-02-22 15:58
lim（x→0）((e^x+e^2x+.+e^nx)/n)^(1/x)
=lim（x→0）【1+[(e^x-1)/n+(e^2x-1)/n+...+(e^nx-1)/n)]】^(1/x)
=lim（x→0）{【1+ [(e^x-1)/n+(e^2x-1)/n+...+(e^nx-1)/n)] 】^(1/[(e^x-1)/n+(e^2x-1)/n+...+(e^nx-1)/n)])}* [(e^x-1)/nx+(e^2x-1)/nx+...+(e^nx-1)/nx)]
因为：lim（x→0）[(e^x-1)/nx+(e^2x-1)/nx+...+(e^nx-1)/nx)]
=[1/n+2/n+...n/n]= (n+1)/2
lim（x→0）((e^x+e^2x+.+e^nx)/n)^(1/x)=e^[(n+1)/2]
=lim（x→0）【1+[(e^x-1)/n+(e^2x-1)/n+...+(e^nx-1)/n)]】^(1/x)
=lim（x→0）{【1+ [(e^x-1)/n+(e^2x-1)/n+...+(e^nx-1)/n)] 】^(1/[(e^x-1)/n+(e^2x-1)/n+...+(e^nx-1)/n)])}* [(e^x-1)/nx+(e^2x-1)/nx+...+(e^nx-1)/nx)]
因为：lim（x→0）[(e^x-1)/nx+(e^2x-1)/nx+...+(e^nx-1)/nx)]
=[1/n+2/n+...n/n]= (n+1)/2
lim（x→0）((e^x+e^2x+.+e^nx)/n)^(1/x)=e^[(n+1)/2]
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