研究函数y=x+(1/x)的图像及性质

研究函数y=x+(1/x)的图像及性质

1、定义域 x是不等于0的一切实数
2、单调性 y`=1-1/x^2=(x+1)(x-1)/x^2
当 x>1时，函数y=x+(1/x)是增函数
当 x<1时，函数y=x+(1/x)是减函数
3、最值
当X=1时y`=0 当 x>1时，函数y=x+(1/x)是增函数,当 x<1时，函数y=x+(1/x)是减函数
所以当X=1 函数y=x+(1/x)取得最小值是2
4、奇偶性
f(x)=x+(1/x)
f(-x)=-x-1/x=-f(x)
所以f(x)是奇函数
5、图象
y=x+(1/x)可以看成是2个函数y=x与y=1/x叠加而来
可由函数的定义域、单调性、最值、奇偶性画出草图。

首先考虑定义域，很明显，x除了不能取0之外，都是有定义的，
其次考虑奇偶性，函数是一个奇函数，所以把第一象限的图像旋转180°就得到了第三象限的图像，因此我们只需要考虑第一象限的情况。
函数的导数是(dy/dx)=1-(1/x^2),所以在第一象限，函数的导数可能取正（x>1时）也可能为负（01时，函数时增函数，同理，在 0所以，x从0取到正无穷大的过程中，函数y=x+1/x 是先减后增的，而增减的拐点正是 x=1这个点。
所以从图像上看，这个函数在第一象限的图像就像一个对勾，而点（1，1）就是这个对勾的拐点。
对于 x<0 的情况，根据奇偶性，就把第一象限的图像绕原点旋转180°。即得到，其另一半图像在第三象限，形状像一个倒写的对勾。
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