是否存在a，使函数f（x）=loga（ax2-x）在区间【2，4】上递增，若存在求a，不存在说理由

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解决时间 2021-12-22 15:44

提问者网友：爱了却不能说
2021-12-21 22:19

最佳答案

五星知识达人网友：怙棘
2022-01-10 02:29

设存在。
因为 a 是对数函数的底，因此 a>0 ，且 a ≠ 1 。
（1）当 0<a<1 时，ax^2-x=a(x^2-x/a)=a(x-1/2a)^2-1/(4a^2) ，
要满足条件，则须使 ax^2-x 在 [2，4] 上递减，且 a*4^2-4>0 ，
因此对称轴 1/(2a)>=4 ，且 16a-4>0 ，
无解；
（2）当 a>1 时，要满足条件，须使 ax^2-x 在 [2，4] 上递增，且 a*2^2-2>0 ，
因此 1/(2a)<=2 ，且 4a-2>0 ，
解得 a>1 ；
综上，存在 a>1 满足条件。

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1楼网友：七十二街
2022-01-10 03:45

令g(x)=ax^2-x 则f(x)=loga(g(x)) 当0<a<1时要使f(x)为增函数则g(x)必须为减函数所以1/2a>=4 a<=1/8 所以0<a<=1/8 当a>1时要使f(x)为增函数则g(x)必须为增函数所以1/2a<=2 a>=1/4 所以a>1 所以a 的范围0<a<=1/8或a>1

2楼网友：独行浪子会拥风
2022-01-10 03:26

令g(x)=ax^2-x
则f(x)=loga(g(x))
 当0<a<1时
 要使f(x)为增函数则g(x)必须为减函数
 所以1/2a>=4
 a<=1/8
 所以0<a<=1/8
 当a>1时
 要使f(x)为增函数则g(x)必须为增函数
 所以1/2a<=2
 a>=1/4
 所以a>1
所以a 的范围0<a<=1/8或a>1

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