已知椭圆的两焦点为f1,f2,如果椭圆上存在点P，满足角F1PF2=90°，求椭圆的离心率的取值范围
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解决时间 2021-12-17 23:10
- 提问者网友：浪子未归
- 2021-12-17 03:09
已知椭圆的两焦点为f1,f2,如果椭圆上存在点P，满足角F1PF2=90°，求椭圆的离心率的取值范围
最佳答案
- 五星知识达人网友：是只坏兔子
- 2021-12-17 03:27
解∵P点满足∠F1PF2=90°，
∴点P在以F1F2为直径的圆上
又∵P是椭圆上一点，
∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，
∵F1、F2是椭圆
x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0)
的焦点
∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，
两边平方，得c2≥b2
即c2≥a2-c2⇒2c2≥a2
两边都除以ea2，得2e2≥1，
∴e≥
√2 /2 ，结合0＜e＜1，
∴
√2/ 2 ≤e＜1，即椭圆离心率的取值范围是[√2 /2 ，1）．
故答案为：[√2/ 2 ，1）
∴点P在以F1F2为直径的圆上
又∵P是椭圆上一点，
∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，
∵F1、F2是椭圆
x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0)
的焦点
∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，
两边平方，得c2≥b2
即c2≥a2-c2⇒2c2≥a2
两边都除以ea2，得2e2≥1，
∴e≥
√2 /2 ，结合0＜e＜1，
∴
√2/ 2 ≤e＜1，即椭圆离心率的取值范围是[√2 /2 ，1）．
故答案为：[√2/ 2 ，1）
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